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[quote="Koalalover"][b]Meine Frage:[/b] Ich habe folgendes Funktional gegeben: [latex]F(c)=\int_V f(c)+\kappa (\nabla c)^2dV[/latex] Wie ist die Funktionalableitung davon? Also [latex] \frac {\delta F} {\delta c} [/latex] [b]Meine Ideen:[/b] Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen: [latex] \lim {\frac{1}{\epsilon} \int_V f(c+\epsilon h + \kappa (\nabla c+ \epsilon h)^2dV- \int_V f(c)+ \kappa (\nabla c)^2dV} [/latex] [latex] =\lim {\frac{1}{\epsilon} \int_V f(c+\epsilon h)-f(c) + \kappa (\nabla c+ \epsilon h)^2dV- \kappa (\nabla c)^2dV} [/latex] [latex] =\frac{\partial f}{\partial c} +\lim {\frac{1}{\epsilon} \int_V \kappa (\nabla c+ \epsilon h)^2dV- \kappa (\nabla c)^2dV} [/latex] Das Epsilon geht gegen 0. Weiter komme ich leider nicht.[/quote]
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index_razor
Verfasst am: 06. Jan 2022 08:23
Titel: Re: Funktionalableitung
Koalalover1 hat Folgendes geschrieben:
Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
?
Das war im Text angedeutet: mittels partieller Integration und der Annahme, daß h im Unendlichen verschwindet. Den Ansatz hast du ja schon richtig gemacht. Du variierst
und schreibst F an der Stelle als Polynom in
, d.h.
Die Funktionalableitung ist (analog zur gewöhnlichen Ableitung) der Term linear in
.
Für
ergibt dies
Das ist im Prinzip schon die Antwort, d.h. man kann sagen:
ist die
lineare
Abbildung
Oft will man das aber expliziter schreiben, d.h. man sucht nach einer verallgemeinerten Funktion, und bezeichnet sie als
(hier steht noch das Argument x im "Nenner"), so daß gilt
Ich nehme an, dieses
ist gesucht. Das erhält man aus (1) eben aus der anfangs genannten Bedingung an h*) mittels partieller Integration oder mittels der Identität
.
____________________
*) Genauer gesagt benötigt man natürlich, daß das Oberflächenintegral von
verschwindet. Das heißt vermutlich, daß
oder etwas ähnliches gelten muß.
Koalalover1
Verfasst am: 05. Jan 2022 22:19
Titel: Funktionalableitung
Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
?
Ja das c ist in dem Fall auch eine Funktion die vom dreidimensionalen Raum in die reellen Zahlen geht.
Vielen Dank!
index_razor
Verfasst am: 05. Jan 2022 18:46
Titel: Re: Funktionalableitung
Koalalover hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht.
Was ist denn mit f(c) gemeint? Die Verkettung von f und c,
? Die Funktionalableitung davon ist nach der Kettenregel einfach
.
Den zweiten Term mußt du mittels partieller Integration auf die Form
bringen. Dafür benötigst du allerdings die Annahme, daß die Variation h im Unendlichen verschwindet. Die Funktionalableitung ist per Definition der Term K(c) proportional zu
. In diesem Fall müßte das
sein.
Also insgesamt, wenn ich mich nicht irre:
Koalalover
Verfasst am: 05. Jan 2022 17:57
Titel: Funktionalableitung
Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht.