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[quote="Physiker1.1"]Also wenn ich das richtig verstehe, dann gilt [latex]\psi_a = \left<a|\psi\right> [/latex] und in der a-Darstellung dann [latex]\left|\psi\right> = \sum\limits_a\psi_a\left|a\right>[/latex] wobei die 2. Gleichung den Vektor |Psi> in der Basis |a> mit den Koeffizienten Psi_a darstellt. Demnach wäre allerdings in meiner Aufgabe [latex]\left|p\right> = \sum\limits_p\psi_p\left|x\right>[/latex] und das ergibt ja nicht wirklich einen Sinn, weil die Wellenfuntion ja kein Koeffizient ist. Also habe ich da wohl irgendwas falsch verstanden, könntest Du mir da nochmal helfen? Danke![/quote]
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Physiker1.1
Verfasst am: 22. Nov 2021 16:56
Titel:
Ah okay, dann vielen Dank für die Hilfe!
TomS
Verfasst am: 22. Nov 2021 16:34
Titel:
Doch, du hast das richtig verstanden:
Der einzige Unterschied ist die kontinuierliche Basis.
Physiker1.1
Verfasst am: 22. Nov 2021 16:07
Titel:
Also wenn ich das richtig verstehe, dann gilt
und in der a-Darstellung dann
wobei die 2. Gleichung den Vektor |Psi> in der Basis |a> mit den Koeffizienten Psi_a darstellt.
Demnach wäre allerdings in meiner Aufgabe
und das ergibt ja nicht wirklich einen Sinn, weil die Wellenfuntion ja kein Koeffizient ist.
Also habe ich da wohl irgendwas falsch verstanden, könntest Du mir da nochmal helfen?
Danke!
TomS
Verfasst am: 22. Nov 2021 14:58
Titel: Re: Eigenzustände, wie kommt man auf diese Gleichung?
Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben:
Wie kommt man auf diesen Ausdruck?
Das ist allgemeingültig.
Gegeben sei ein abstrakter Hilbertraum mit Kets sowie Eigenzustände |a> zu irgendeiner Observablen A. Dann gilt - für diskretes Spektrum von A, andernfalls analog mit Integralen:
Eigenwertgleichung:
Orthonormiertheit (wobei ich der Einfachheit halber eine mögliche Entartung außer Acht lasse)
Vollständigkeit bzw. Darstellung der Eins:
Projektion und Komponenten eines beliebigen Zustandes:
a-Darstellung des Zustandes:
Das entspricht (da ein separabler Hilbertraum und eine Observable A mit diskreter Eigenbasis |a> betrachtet wurde) der linearen Algebra.
Für die Spezialfälle der Orts- und Impulsdarstellung erhält man als Komponenten gerade die Wellenfunktionen. Natürlich muss man dann zu einem "kontinuierlichen Index" x bzw. p, Integralen statt Summen und delta-Distributionen übergehen.
Physiker1.1
Verfasst am: 22. Nov 2021 13:43
Titel: Eigenzustände, wie kommt man auf diese Gleichung?
Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier die Lösung einer Aufgabe vor mir und versuche diese nachzuvollziehen.
Die Aufgabe lautet: "Determine the wave function
of the eigenvectors
in the position space representation. Außerdem ist gegeben, dass die Ortsbasis eine Eigenbasis des Ortsoperators
ist mit Eigenwert x. Analog für die p-Basis.
Nun wird in der Lösung gesagt:
"The wave function of |p> in the position representation is given by
Wie kommt man auf diesen Ausdruck? Gibt es da eine allgemeine Ausdrucksweise? Denn ich wusste nicht, dass man eine Wellenfunktion so ausdrücken kann.
Weiter geht es mit
"Since |p> is an eigenstate of p' and we know the position representation of p' we have
Das kann ich mir so erklären:
ist ein Eigenzustand von
mit Eigenwert p, also gilt
damit folgt
wobei man das p nach vorne ziehen kann, weil es ein Skalar ist. Stimmt das?
Außerdem soll nach Lösung gelten:
Wie kommt man darauf? also klar, das vor der Bracket ist der Impulsoperator. Aber den kann man doch nicht einfach so nach vorne ziehen oder doch?
Ich hoffe mir kann jemand helfen,
danke im Voraus!
Meine Ideen:
s. oben