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[quote="kleinesKorollar"][b]Meine Frage:[/b] Ich möchte zeigen, dass die Born-Oppenheimer-Näherung eine untere Schranke für die tatsächliche Grundzustandsenergie darstellt. Hierzu sollte ich das Ritz'sche Variationsverfahren verwenden. Ich würde mich über Tipps zum weiteren Vorgehen freuen! [b]Meine Ideen:[/b] Born-Oppenheimer-Näherung: [latex]H = T_K + H_0[/latex] Im Folgenden ist [latex]\chi_{0}(R)[/latex] die atomare Wellenfunktion und [latex]\phi_{0}(r)[/latex] die elektronische Wellenfunktion mit R einem Vektor mit den Kernpositionen und r mit den Elektronenpositionen. Für beliebige r gilt nach dem Ritzschen Variationsprinzip: [latex] E_{0}^{BO} = \frac{\int \chi_{0}^{*}(R) (T_{K} + \epsilon_{0}(R)) \chi_{0}(R) \dd R }{\int \chi_{0}^{*}(R)\chi_{0}(R) \dd R} \leq \frac{\int \psi^{*}(r,R) (T_{K} + \epsilon_{0}(R)) \psi(r,R) \dd R }{\int \psi^{*}(r,R)\psi(r,R) \dd R} [/latex] Für beliebige R gilt: [latex]\epsilon_{0}(R) = \frac{\int \phi_{0}^{*}(r) H_0 \phi_{0}(r) \dd r }{\int \phi_{0}^{*}(r) \phi_{0}(r) \dd r} \leq \frac{\int \psi^{*}(r,R) H_0 \psi(r,R) \dd r }{\int \psi^{*}(r,R)\psi(r,R) \dd r}[/latex] Die elektronischen und atomaren Wellenfunktionen müssen normiert sein, daraus folgt: [latex]\int \chi_{0}^{*}(R)\chi_{0}(R) \dd R = 1 = \int \phi_{0}^{*}(r) \phi_{0}(r) \dd r[/latex] Und für E_0 (mit eingesetzter Normierung der Gesamt-Festkörper-Wellenfkt.) gilt folgender Zusammenhang: [latex]E_0 = \int \int \psi^{*}(r,R)H\psi(r,R) \dd r \dd R = \int \int \psi^{*}(r,R)(T_{K} + H_0)\psi(r,R) \dd r \dd R[/latex][/quote]
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kleinesKorollar
Verfasst am: 12. Aug 2021 01:15
Titel: Born-Oppenheimer-Näherung
Meine Frage:
Ich möchte zeigen, dass die Born-Oppenheimer-Näherung eine untere Schranke für die tatsächliche Grundzustandsenergie darstellt. Hierzu sollte ich das Ritz'sche Variationsverfahren verwenden.
Ich würde mich über Tipps zum weiteren Vorgehen freuen!
Meine Ideen:
Born-Oppenheimer-Näherung:
Im Folgenden ist
die atomare Wellenfunktion und
die elektronische Wellenfunktion mit R einem Vektor mit den Kernpositionen und r mit den Elektronenpositionen.
Für beliebige r gilt nach dem Ritzschen Variationsprinzip:
Für beliebige R gilt:
Die elektronischen und atomaren Wellenfunktionen müssen normiert sein, daraus folgt:
Und für E_0 (mit eingesetzter Normierung der Gesamt-Festkörper-Wellenfkt.) gilt folgender Zusammenhang: