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[quote="TomS"]So, ich denke, der folgende Ansatz ist allgemein gültig für beliebige Darstellungen beliebiger su(N) mit N = 2,3...: Für die Generatoren R einer beliebigen Darstellung gilt [latex][R_a, R_b] = if_{abc}R_c[/latex] Für su(2) entsprechen die Strukturkonstanten f gerade den epsilon-Symbolen. Mittels der üblichen Regeln für Kommutatoren gilt [latex][R_aR_a, R_bR_b] = R_b[R_aR_a,R_b] + [R_aR_a,R_b]R_b[/latex] [latex][R_aR_a,R_b] = R_a[R_a,R_b] + [R_a,R_b]R_a[/latex] Für die rechte Seite folgt [latex][R_aR_a,R_b] = R_a \left(\sum_c if_{abc}R_c\right) + \left(\sum_c if_{abc}R_c\right)R_a = \sum_c if_{abc}(R_a R_c + R_c R_a)[/latex] Aufgrund der Antisymmetrie der Strukturkonstanten f in den Indizes a,c sowie der Symmetrie des Klammerausdrucks gilt für jeden einzelnen Summanden [latex]if_{abc}(R_a R_c + R_c R_a) = 0[/latex] d.h. [latex][R_aR_a, R_bR_b] = 0[/latex] für beliebige Darstellungen beliebiger su(N) Algebren, und damit speziell für die Darstellungen j = 1/2, 1, 3/2 ... der su(2).[/quote]
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TomS
Verfasst am: 03. Jun 2021 12:21
Titel:
Stimmt.
Zweiter Bock meinerseits
index_razor
Verfasst am: 03. Jun 2021 11:13
Titel:
Ja, der Beweis ist auch falsch. Für fixes a und b gibt es nur einen Summanden, z.B.
Das ist nicht null.
TomS
Verfasst am: 03. Jun 2021 11:01
Titel:
Und ich einen Beweis.
Was folgt daraus? Einer von uns beiden hat Unrecht.
Zork
Verfasst am: 03. Jun 2021 10:47
Titel:
Aber schnudl hatte doch schon ein Gegenbeispiel gegeben. ?(
TomS
Verfasst am: 02. Jun 2021 15:55
Titel:
So, ich denke, der folgende Ansatz ist allgemein gültig für beliebige Darstellungen beliebiger su(N) mit N = 2,3...:
Für die Generatoren R einer beliebigen Darstellung gilt
Für su(2) entsprechen die Strukturkonstanten f gerade den epsilon-Symbolen.
Mittels der üblichen Regeln für Kommutatoren gilt
Für die rechte Seite folgt
Aufgrund der Antisymmetrie der Strukturkonstanten f in den Indizes a,c sowie der Symmetrie des Klammerausdrucks gilt für jeden einzelnen Summanden
d.h.
für beliebige Darstellungen beliebiger su(N) Algebren, und damit speziell für die Darstellungen j = 1/2, 1, 3/2 ... der su(2).
TomS
Verfasst am: 02. Jun 2021 13:09
Titel:
Ich befürchte, du hast Recht.
Mein Fehler, die o.g. Aussage gilt
nicht
für beliebige j sondern immer nur für die Fundamentaldarstellung, d.h. für su(2) natürlich j = 1/2.
Ich korrigiere das.
schnudl
Verfasst am: 02. Jun 2021 12:59
Titel:
Die
Matrizen
für L=3/2 vertauschen aber nicht:
Wenn ich das ausrechne ist
TomS
Verfasst am: 02. Jun 2021 09:29
Titel:
Zunächst gilt wg. (15 ff) aus
http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf
für j = 1/2
OK, vergiss das, es gilt nur für j = 1/2, nicht unbedingt für j > 1/2, und ist damit für deine Frage nutzlos.
Sorry!
schnudl
Verfasst am: 02. Jun 2021 08:52
Titel:
Ich habs im Auto an der Kreuzung kurz überflogen. Jetzt sitz ich im Büro: du schriebst, dass die Komponentenquadrate von L immer vertauschen und zeigtest diese Rechnung für den Kommutator. Meintest du das nur für L=1 oder allgemein? Letzteres kann ich nämlich nicht nachvollziehen. Oder meintest du ohnehin nur für Drehimpuls L=1 ? Wie war das gemeint? Schon alleine das würde mich interessieren...
Ich lese gerade eine Arbeit im Zusammenhang mit dem Kochen-Specker Theorem und versuche die Lektüre zu verstehen - das ist der Hintergrund. Wahrscheinlich bin ich da aber eh zu dumm...
TomS
Verfasst am: 02. Jun 2021 08:44
Titel:
Ja, die war aber nicht gut - sorry.
schnudl
Verfasst am: 02. Jun 2021 08:42
Titel:
war da nicht gerade eine Antwort von TomS?
schnudl
Verfasst am: 01. Jun 2021 17:04
Titel: Messungen an einem Spin-1 System
Angenommen ich habe einen Zustand mit Spin-1. Dann gilt ja für den Operator, wie bei jedem Drehimpuls
Die Komponenten untereinander vertauschen nicht, also
Ich habe den Verdacht, dass aber bei L=1
ist. Jedenfalls ergibt sich das aus den Matrix Repräsentationen (das ist scheinbar eine von vielen)
Nun die Fragen:
1) Ist eher eine Nebenfrage: Wie kommt man eigentlich auf diese Matrixdarstellungen? Was legt die Dimension denn fest? Es ist irgendwie plausibel, denn bei L=1 hat man drei Eigenwerte in einer bestimmten Richtung und daher auch die Dimension 3. Bei L=3/2 sind es vier, usw. Dennoch fällt das alles irgendwie vom Himmel...
2) Wieso vertauschen bei L=1 die Quadrate der Komponenten, während das allgemein nicht der Fall ist? Wie kann man das unabhängig von der Repräsentation durch eine Matrix algebraisch oder gar physikalisch begründen?
3) Was bedeutet das physikalisch? der einzige Eigenwert von L² ist 2 - so muss es ja sein wegen L(L+1). Die Eigenwerte von
sind 0 oder 1. Da
und dieser Operator kompatibel mit den drei anderen ist, müssen von drei Messungen
,
,
immer genau zwei das Ergebnis 1 und eine dritte das Ergebnis 0 liefern. Habe ich also zwei gemessen, folgt automatisch das Ergebnis der dritten Messung. Irgendwie haut es mir hier die Schädeldecke raus ...
Scheinbar kann man ja diese drei Komponentenquadrate unabhängig (z.B. hintereinander) messen, da die drei Operatoren ja kommutieren (sehe ich das richtig?). Was ist aber eine Messung des x,y,z-Quadrats überhaupt? ich könnte ja genausogut
,
,
messen, dabei -1, 0 oder 1 erhalten, diese Ergebnisse quadrieren und als Ergebnis ausweisen. Diese drei Messungen sind aber nicht kompatibel, da die Komponenten des Drehimpulses ja nicht vertauschen. Und so würde daher je nach Reihenfolge etwas unterschiedliches rauskommen. Wie sonst kann man aber das Quadrat "messen"? Was bedeutet es physikalisch, dass das Ergebnis der dritten Messung feststeht, sobald ich zwei gemessen habe? Ich verstehe zwar die Mathematik, aber diese will mir physikalisch nichts sagen ...