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[quote="index_razor"]Mich wundert die Definition etwas. Der Hodge-Operator ist ja eine lokale Operation und auch dann definiert, wenn das Integral [latex]\int \alpha\wedge \star \beta[/latex] aus irgendwelchen Gründen gar nicht existiert. Üblicherweise verwendet man eine der beiden äquivalenten Definitionen [latex]\alpha\wedge \star \beta = \langle \alpha, \beta\rangle \text{vol}\qquad \alpha, \beta\in \Lambda^p (M)[/latex] oder [latex]\beta\wedge \alpha = \langle \star \beta, \alpha \rangle \text{vol},\qquad \alpha\in\Lambda^{n-p}(M), \beta\in \Lambda^{p}(M).[/latex] Hierbei ist [latex]\text{vol}=\sqrt{g}\dd x^1 \wedge\cdots \wedge \dd x^n[/latex] die Volumenform und das innere Produkt der beiden p-Formen ist definiert als die Bilinearform [latex]\langle \dd x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \dd x^{i_p}, \dd x^{k_1}\wedge \cdots \wedge \dd x^{k_p}\rangle = \det \begin{pmatrix}g^{i_1 k_1}\cdots g^{i_1, k_p}\\ \cdots \\ g^{i_1 k_1}\cdots g^{i_p k_p}\end{pmatrix}[/latex] Ein paar Bemerkungen zum Beweis: Ich würde es mit dem Ansatz [latex]\star( \dd x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \dd x^{i_p}) = \sum_{k_{p+1}<\cdots < k_n} K^{i_1\cdots i_p}_{k_{p+1}\cdots k_n}\dd x^{k_{p+1}}\wedge\cdots \wedge \dd x^{k_n}[/latex] versuchen. Um die Koeffizienten K zu bestimmen multipliziert man von links mit [latex]\dd x^{k_1}\wedge\cdots \wedge \dd x^{k_p}[/latex] wobei die Indizes fix und alle verschieden sind. Auf der rechten Seite bleibt nur ein Term übrig, denn [latex]k_{p+1},\dots , k_{n}[/latex] muß eine komplementäre Permutation von [latex]k_1,\dots k_p[/latex] sein und davon kann nur eine geordnet sein. Dann steht rechts also [latex]\pm K^{i_1\cdots i_p}_{k_{p+1} \cdots k_n}\dd x^1\wedge \cdots \wedge\dd x^n = \pm \frac{K^{i_1\cdots i_p}_{k_{p+1} \cdots k_n}}{\sqrt{g}}\text{vol}[/latex] Das Vorzeichen ist das der Permutation [latex]k_1\cdots k_n[/latex]. Nach der ersten Definition von [latex]\star[/latex] oben folgt [latex]\pm \frac{K^{i_1\cdots i_p}_{k_{p+1} \cdots k_n}}{\sqrt{g}} = \det \begin{pmatrix}g^{i_1 k_1}\cdots g^{i_1, k_p}\\ \cdots \\ g^{i_1 k_1}\cdots g^{i_p k_p}\end{pmatrix}[/latex] Damit müßte man es eigentlich irgendwie hingebastelt bekommen. Das [latex]\epsilon[/latex] kommt offenbar aus der Entwicklung der Determinante, der Faktor [latex](n-p)![/latex] daher, daß man in der Summenkonvention die Bedingung [latex]k_{p+1}<\ldots < k_{n}[/latex] fallen läßt.[/quote]
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Nachricht
index_razor
Verfasst am: 18. März 2021 13:56
Titel:
Mich wundert die Definition etwas. Der Hodge-Operator ist ja eine lokale Operation und auch dann definiert, wenn das Integral
aus irgendwelchen Gründen gar nicht existiert.
Üblicherweise verwendet man eine der beiden äquivalenten Definitionen
oder
Hierbei ist
die Volumenform und das innere Produkt der beiden p-Formen ist definiert als die Bilinearform
Ein paar Bemerkungen zum Beweis: Ich würde es mit dem Ansatz
versuchen. Um die Koeffizienten K zu bestimmen multipliziert man von links mit
wobei die Indizes fix und alle verschieden sind. Auf der rechten Seite bleibt nur ein Term übrig, denn
muß eine komplementäre Permutation von
sein und davon kann nur eine geordnet sein. Dann steht rechts also
Das Vorzeichen ist das der Permutation
. Nach der ersten Definition von
oben folgt
Damit müßte man es eigentlich irgendwie hingebastelt bekommen. Das
kommt offenbar aus der Entwicklung der Determinante, der Faktor
daher, daß man in der Summenkonvention die Bedingung
fallen läßt.
Bardolino
Verfasst am: 16. März 2021 22:52
Titel: Eigenschaft des Hodge-Stern-Operators beweisen
Meine Frage:
Hallo,
Ich beschäftige mich in Vorbereitung auf eine Vorlesung zur ART mit Differentialgeometrie. Dabei kam mir der "Hodge-Stern-Operator" unter, der folgendermaßen definiert ist:
---
Sei
eine
-dimensionale Mannigfaltigkeit und sei
der "Hodge-Stern-Operator", so dass
für alle
. Hierbei bezeichnet
das innere Produkt, welches definiert ist als:
---
Ich soll nun zeigen, dass gilt:
Nun bin ich bisher leider daran gescheitert diese Identität zu beweisen. Auch im Internet habe ich keine Beweise gefunden die nicht die wesentlichsten Punkte in der Beweisführung entweder übersprungen haben, oder dieselben zu wenig detailliert dargestellt haben, sodass auch ich sie verstehe.
Falls mir hier jemand weiterhelfen kann (durch Quellenangabe oder durch Angabe eines Beweises) würde ich mich sehr freuen.
Beste Grüße,
Bardolino
Meine Ideen:
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