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[quote="TomS"]zu c) Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird. Gegeben ist zunächst [latex]\frac{d^2}{dt^2} r = M \, r[/latex] Die Differentation sowie die Matrixmultiplikation wirken linear auf den Vektor r; die Matrix M ist außerdem zeitunabhängig. Sei also [latex]\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} [/latex] die Diagonalmatrix mit den zeitunabhängigen Eigenwerten. Die Diagonalisierung erfolgt mittels einer (ebenfalls zeitunabhängigen) Matrix S, d.h. [latex]M = S \Lambda S^{-1} [/latex] [latex]S^{-1} M S = \Lambda [/latex] Einsetzen liefert [latex]\frac{d^2}{dt^2} r = S \Lambda S^{-1} \, r[/latex] Multiplikation mit S^-1 von links [latex]S^{-1} \frac{d^2}{dt^2} r = \frac{d^2}{dt^2} S^{-1} r = S^{-1} S \Lambda S^{-1} \, r = \Lambda S^{-1} \, r [/latex] Die letzte Gleichung kann mittels [latex]r^\prime = S^{-1} \, r [/latex] geschriebene werden als [latex]\frac{d^2}{dt^2} r^\prime = \Lambda r^\prime [/latex] Wenn du also die Eigenwerte und damit die Diagonalmatrix kennst, kannst du dieses neue Differentialgleichungssystem lösen. Es ist [i]entkoppelt[/i], d.h. beide Gleichungen können mittels einer Linearkombination von e-Funktionen [i]separat[/i] gelöst werden. Die gekoppelten Lösungen des ursprünglichen Gleichungssystems erhältst du mittels [latex]r = S \, r^\prime [/latex] zurück. Die Aufgabe (c) ist einfach ein Weg zur Lösung für Lambda und S.[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 26. Jan 2021 22:38
Titel:
Sorry, das geht etwas durcheinander.
Du sollst die Eigenwerte bzgl. der
noch nicht diagonalisierten
Matrix bestimmen.
TomS hat Folgendes geschrieben:
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
mit
und
Myon hat Folgendes geschrieben:
... die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
also
Myon
Verfasst am: 26. Jan 2021 22:34
Titel:
Noch einmal kurz zu b): es geht wie gesagt nur darum, zu zeigen, dass das angegebene System von Differentialgleichungen das System beschreibt.
Oben wurde begründet, dass für die beiden Massen die Bewegungsgleichungen
gelten. Vielleicht könnte man das noch ausführlicher tun mit den Längen der entspannten Federn, die sich dann wieder herausheben, aber ich denke nicht, dass das nötig ist. Die Federkräfte ändern jeweils linear zu einer Verlängerung/Verkürzung der Feder.
Auf jeden Fall stehen genau diese Gleichungen (nach Division durch m) im gegebenen Gleichungssystem - einfach einmal die Matrixmultiplikation ausführen.
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms
GeorgeSch
Verfasst am: 26. Jan 2021 20:55
Titel:
dann habe ich für C) die Eigenvektoren
GeorgeSch
Verfasst am: 26. Jan 2021 20:05
Titel:
ich habe es jetzt mal versucht und bekomme
wenn ich jetzt aber die NS ermittle, sind diese dann auch das
, welche die Eigenwerte darstellen?
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 18:28
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
zu c)
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
Die Differentation sowie die Matrixmultiplikation wirken linear auf den Vektor r; die Matrix M ist außerdem zeitunabhängig.
Sei also
Wenn ich jetzt die Matrix
betrachte, kann ich das Problem aus aufgabe
b)
nicht auch mit dem charakteristischen Polynom löse?
allerdings wüsste ich nicht, wie ich ab lösen der NS weitermachen soll, da ich dann 4 Lösungen hätte
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 17:52
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ja, das System hat eine andere Form.
Das Ziel ist, diese Form zu
ändern
= die Gleichungen zu entkoppeln; siehe oben.
die entkoppelte form ist
und ich soll ja zeigen, dass es durch das DGL von vorhin ebenso dargestellt werden kann
ich sehe jedoch keine Gleichheit zwischen meinen Lsgen und die in der aufgabenstellung erwähnt wurde
TomS
Verfasst am: 26. Jan 2021 17:42
Titel:
Ja, das System hat eine andere Form.
Das Ziel ist, diese Form zu
ändern
= die Gleichungen zu entkoppeln; siehe oben.
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 17:28
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Mit den Bewegungsgleichungen ist b) ja gelöst, denn genau diese stehen im Gleichungssystem. Als nächstes wird in c) nach den Eigenwerten und Eigenvektoren der Abbildung/Matrix gefragt.
PS: sorry, die Antwort von TomS erst jetzt gesehen.
aber hat das GLS nicht eine komplett andere Form?
Da würde doch was anderes rauskommen, oder nicht?
TomS
Verfasst am: 26. Jan 2021 16:30
Titel:
Ok, klar; ich war auf (c) fixiert und habe (b) übersehen; sorry.
Myon
Verfasst am: 26. Jan 2021 16:27
Titel:
Mit den Bewegungsgleichungen ist b) ja gelöst, denn genau diese stehen im Gleichungssystem. Als nächstes wird in c) nach den Eigenwerten und Eigenvektoren der Abbildung/Matrix gefragt.
PS: sorry, die Antwort von TomS erst jetzt gesehen.
TomS
Verfasst am: 26. Jan 2021 16:20
Titel:
Ich habe nicht jede Rechnung geprüft, aber das ist nicht das, was ich meine.
Es geht um
so dass die DGLs entkoppeln.
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 16:13
Titel:
nach der zuvor genannten Rechnung komme ich jetzt für
auf
stimmt das schon überein, oder fehlt mir noch etwas für
TomS
Verfasst am: 26. Jan 2021 15:52
Titel:
Ja, natürlich. Die Entkopplung ist die zentrale Idee und der logische nächste Schritt.
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 15:48
Titel:
ich bin mir nicht sicher, aber ich hatte als nächstes im sinn die DGL zu "entkoppeln" (?), in dem ich die beiden gekoppelten DGL miteinander addiere und subtrahiere
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 15:40
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
TomS zeigte (präzise und perfekt wie immer;)), wie grundsätzlich ein solches Problem gelöst wird. Insbesondere sieht man daraus, wie man später aus der Lösung des entkoppelten Systems nach der Diagonalisierung, r', wieder auf die Lösung des gekoppelten Systems, r, kommt.
In b) geht es nur darum zu zeigen, wie man auf das angegebene Gleichungssystem kommt.
Die Federkräfte ändern linear mit einer Dehnung/Stauchung. Betrachtet man die erste und die zweite Feder, so sind die "nach aussen" wirkenden Federkräfte
oder?
Dabei sind
die Federkräfte in der Ruhelage. Es muss gelten
.
Auf die erste Masse wirken in horizontaler Richtung nur diese beiden Federkräfte, und die Bewegungsgleichung lautet
Für die 2. Masse analog.
In c) sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix gesucht. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Aus den Eigenwerten
folgen die zugehörigen Eigenvektoren
, indem man das Gleichungssytem
löst. I.a. können zu einem Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gehören.
dann habe ich folgendes für die 2. masse
Dann stelle ich die Gleichungen für
und
so um dass ich auf einer Seite null stehen habe, sprich
sodass ich nun 2 gekoppelte DGL besitze,
oder?
Myon
Verfasst am: 26. Jan 2021 14:56
Titel:
TomS zeigte (präzise und perfekt wie immer;)), wie grundsätzlich ein solches Problem gelöst wird. Insbesondere sieht man daraus, wie man später aus der Lösung des entkoppelten Systems nach der Diagonalisierung, r', wieder auf die Lösung des gekoppelten Systems, r, kommt.
In b) geht es nur darum zu zeigen, wie man auf das angegebene Gleichungssystem kommt.
Die Federkräfte ändern linear mit einer Dehnung/Stauchung. Betrachtet man die erste und die zweite Feder, so sind die "nach aussen" wirkenden Federkräfte
Dabei sind
die Federkräfte in der Ruhelage. Es muss gelten
.
Auf die erste Masse wirken in horizontaler Richtung nur diese beiden Federkräfte, und die Bewegungsgleichung lautet
Für die 2. Masse analog.
In c) sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix gesucht. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Aus den Eigenwerten
folgen die zugehörigen Eigenvektoren
, indem man das Gleichungssytem
löst. I.a. können zu einem Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gehören.
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 12:35
Titel: Re: Gekoppelte Masse
für b) habe ich foldendes
müsste ich jetzt hier die federkonstanten als Nullstellen betrachten?
so hätte ich dann
oder muss ich wie folgt rechnen:
GeorgeSc.
Verfasst am: 26. Jan 2021 12:23
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
zu c)
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
woher nehme ich
her für c)
das ist mir noch schleierhaft
TomS
Verfasst am: 25. Jan 2021 15:39
Titel:
zu c)
Gesucht sind Linearkombinationen von x_1 und x_2, so dass die Matrix diagonal wird.
Gegeben ist zunächst
Die Differentation sowie die Matrixmultiplikation wirken linear auf den Vektor r; die Matrix M ist außerdem zeitunabhängig.
Sei also
die Diagonalmatrix mit den zeitunabhängigen Eigenwerten.
Die Diagonalisierung erfolgt mittels einer (ebenfalls zeitunabhängigen) Matrix S, d.h.
Einsetzen liefert
Multiplikation mit S^-1 von links
Die letzte Gleichung kann mittels
geschriebene werden als
Wenn du also die Eigenwerte und damit die Diagonalmatrix kennst, kannst du dieses neue Differentialgleichungssystem lösen. Es ist
entkoppelt
, d.h. beide Gleichungen können mittels einer Linearkombination von e-Funktionen
separat
gelöst werden.
Die gekoppelten Lösungen des ursprünglichen Gleichungssystems erhältst du mittels
zurück.
Die Aufgabe (c) ist einfach ein Weg zur Lösung für Lambda und S.
GeorgeSch
Verfasst am: 25. Jan 2021 15:21
Titel:
Grafik zur Veranschaulichung:
https://i.ibb.co/zs9JwYG/Screenshot-2.png
Willkommen im Physikerboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, GeorgeSc wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
Myon
Verfasst am: 25. Jan 2021 15:19
Titel:
Kannst Du bitte die vollständige Aufgabe posten, eine Skizze anfügen oder erklären, wie die Federn genau angeordnet sind? So wie ich es sehe, sind die Massen jeweils mit einer Feder k1 mit einer Wand verbunden, und zwischen Massen ist eine Feder k2?
Für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen hilft das 2. Newtonsche Prinzip, nicht das erste.
Zu c): Habt Ihr das in der linearen Algebra nicht behandelt, charakteristisches Polynom aufstellen und dessen Nullstellen finden?
GeorgeSc
Verfasst am: 25. Jan 2021 15:04
Titel: Gekoppelte Masse
Meine Frage:
gegeben sind identische Massenpunkte welche mit einer Feder verbunden sind
Federkonstanten: k1,k2
Auslenkungen aus der Ruhelage: x1, x2
b) ich soll mit Hilfe des Newtonschen Gesetzes/Newton'schen Gesetzes zeigen,dass die auslenkung aus der ruhelage auch durch die Differentialgleichung-System (DGL System)
beschrieben werden kann
c) bestimme die Eigenwerte
und die dazugehörigen eigenvektoren
der Koeffizientienmatrix
Meine Ideen:
b) meine vermutung: ich benutze das erste Newtonsche Axion
c) fehlt mir allerdings jegliche Grundidee