Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Elektrik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="Gast006"][quote="ML"] [b]Superpositionsprinzip[/b] Prüfen wir zunächst, ob das Superpositionsprinzip gilt, d. h. ob gilt: [latex]G\{s_1(t)+ s_2(t)\} = G\{s_1(t)\} + G\{s_2(t)\}[/latex] Eine mögliche Anwendungsfrage lautet: Wenn ich die beiden Signale [latex]s_1(t)[/latex] und [latex]s_2(t)[/latex] einzeln durch einen Übertragungskanal gehen lasse, der durch G beschrieben wird, und sie dann summiere, kommt dann das gleiche heraus, wie wenn ich das Summensignal [latex]s_1(t)+s_2(t)[/latex] durch den Übertragungskanal gehen lasse? Das ist offenbar nicht der Fall, da [latex]G\{s_1(t)+ s_2(t)\} = \left(s_1(t)+s_2(t)\right)+1 \ne (s_1(t)+1) + (s_2(t)+1) = G\{s_1(t)\} + G\{s_2(t)\}[/latex] [b]Proportionalitätsprinzip[/b] Jetzt wärest Du dran, das Proportionalitätsprinzip zu prüfen. Die Frage lautet: Gilt für jede reell- bzw. komplexwertige Konstante [latex]a \in \mathbb{R}[/latex] bzw. [latex]a \in \mathbb{C}[/latex] und ein beliebiges Signal [latex]s(t)[/latex] der Zusammenhang: [/quote] Um genau zu sein heisst der Kurs Signal- und Systemtheorie. Das Proportionalitätsprinzip auch Homogenität und Addivität beim Superpositionsprinzip. Ich habe das mal wie folgt gemacht: 1)[latex]g(t) = s(t) + 1[/latex] 2)[latex]s(t) = a_1 \cdot s_1(t) + a_2 \cdot s_2(t)[/latex] Und habe das dann für [latex]s(t)[/latex] in 1) eingesetzt und ich kam dann auf: [latex]g(t) = (a_1 \cdot s_1(t) + a_2 \cdot s_2(t)) + 1[/latex] Dann habe ich das ganze nochmal mit dem Ausgang mit [latex]g(t) [/latex] gemacht. Also: [latex]g(t) = a_1 \cdot g_1(t) + a_2 \cdot g_2(t) = a_1 \cdot (s_1(t) + 1) + a_2 \cdot (s_2(t) + 1)[/latex] Daher erkennt man ja das [latex](a_1 \cdot s_1(t) + a_2 \cdot s_2(t)) + 1 \neq a_1 \cdot (s_1(t) + 1) + a_2 \cdot (s_2(t) +1)[/latex] Bei der Zeitinvarianz heisst die Bedingung ja, wenn ich ein verzögertes Signal eingebe, bekomme ich dann ja auch ein verzögertes Ausgangssignal heraus. Also: [latex]s(t - T) \to g(t - T)[/latex] Dann bekomme ich folgendes: [latex]g(t) = s(t - T) + 1 = g(t - T) = s(t - T) + 1 \to \text{ zeitinvariant aber nicht linear }[/latex] Also kein LTI - System Ich hoffe mal, dass ich es so richtig gemacht habe. Wenn das soweit richtig ist, hätte ich da noch eine Aufgabe, die ich auf Zeitinvarianz überprüfen müsste: [latex]g(t) = \int_{-\infty}^{t} s(\tau) d\tau (\text{ Integrator System })[/latex] Hier heißt die Bedingung ja auch: [latex]s(t - T) \to g(t - T)[/latex] Hier komme ich auf: [latex]g(t) = \int_{-\infty}^{t} s(\tau - T) d\tau[/latex] Mittels Substitution von [latex]\tau - T = t'[/latex] und Ableitung von [latex]\frac{dt'}{d\tau} = 1 => d't = d\tau[/latex] Habe ich dann folgendes: [latex]g(t) = \int_{-\infty}^{t - T} s(t') dt'[/latex] Und da soll dann g(t - T) rauskommen. Jetzt weiss ich nicht wie man g(t - T) einsetzt. Also laut der Lösung ist es zeitinvariant, doch ich sehe das noch nicht.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
ML
Verfasst am: 26. Dez 2020 15:34
Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen
Hallo,
Gast006 hat Folgendes geschrieben:
Bei der Zeitinvarianz heisst die Bedingung ja, wenn ich ein verzögertes Signal eingebe, bekomme ich dann ja auch ein verzögertes Ausgangssignal heraus. Also:
Voraussetzungsgemäß gilt:
Wir wollen zeigen, dass dann gilt:
Fangen wir an:
Jetzt substituieren wir
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Michael
Gast006
Verfasst am: 26. Dez 2020 03:11
Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen
ML hat Folgendes geschrieben:
Superpositionsprinzip
Prüfen wir zunächst, ob das Superpositionsprinzip gilt, d. h. ob gilt:
Eine mögliche Anwendungsfrage lautet: Wenn ich die beiden Signale
und
einzeln durch einen Übertragungskanal gehen lasse, der durch G beschrieben wird, und sie dann summiere, kommt dann das gleiche heraus, wie wenn ich das Summensignal
durch den Übertragungskanal gehen lasse?
Das ist offenbar nicht der Fall, da
Proportionalitätsprinzip
Jetzt wärest Du dran, das Proportionalitätsprinzip zu prüfen. Die Frage lautet:
Gilt für jede reell- bzw. komplexwertige Konstante
bzw.
und ein beliebiges Signal
der Zusammenhang:
Um genau zu sein heisst der Kurs Signal- und Systemtheorie.
Das Proportionalitätsprinzip auch Homogenität und Addivität beim Superpositionsprinzip.
Ich habe das mal wie folgt gemacht:
1)
2)
Und habe das dann für
in 1) eingesetzt und ich kam dann auf:
Dann habe ich das ganze nochmal mit dem Ausgang mit
gemacht. Also:
Daher erkennt man ja das
Bei der Zeitinvarianz heisst die Bedingung ja, wenn ich ein verzögertes Signal eingebe, bekomme ich dann ja auch ein verzögertes Ausgangssignal heraus. Also:
Dann bekomme ich folgendes:
Also kein LTI - System
Ich hoffe mal, dass ich es so richtig gemacht habe.
Wenn das soweit richtig ist, hätte ich da noch eine Aufgabe, die ich auf Zeitinvarianz überprüfen müsste:
Hier heißt die Bedingung ja auch:
Hier komme ich auf:
Mittels Substitution von
und Ableitung von
Habe ich dann folgendes:
Und da soll dann g(t - T) rauskommen. Jetzt weiss ich nicht wie man g(t - T) einsetzt. Also laut der Lösung ist es zeitinvariant, doch ich sehe das noch nicht.
ML
Verfasst am: 26. Dez 2020 00:10
Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen
Hallo,
Gast006 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Wie überprüft man folgendes System auf Linearität und Zeitinvarianz:
ich vermute, Du stellst die Frage im Zusammenhang mit einem Signalverarbeitungskurs . Mit
ist ein reell- oder komplexwertiges Signal gemeint und G{...} ist eine Operation, die Du auf das Signal anwendest, beispielsweise eine Differentiation, die Fouriertransformation oder -- im obigen Beispiel -- die Addition mit 1.
Superpositionsprinzip
Prüfen wir zunächst, ob das Superpositionsprinzip gilt, d. h. ob gilt:
Eine mögliche Anwendungsfrage lautet: Wenn ich die beiden Signale
und
einzeln durch einen Übertragungskanal gehen lasse, der durch G beschrieben wird, und sie dann summiere, kommt dann das gleiche heraus, wie wenn ich das Summensignal
durch den Übertragungskanal gehen lasse?
Das ist offenbar nicht der Fall, da
Proportionalitätsprinzip
Jetzt wärest Du dran, das Proportionalitätsprinzip zu prüfen. Die Frage lautet:
Gilt für jede reell- bzw. komplexwertige Konstante
bzw.
und ein beliebiges Signal
der Zusammenhang:
Überprüfe das und schreib dann "in Prosa" auf, was das eigentlich bedeutet.
Linearität
Wenn das Proportionalitätsprinzip und das Superpositionsprinzip beide gelten, dann ist die Operation G linear.
In Deiner Übungsaufgabe waren das Superpositionsprinzip und das Proportionalitätsprinzip in einer Formel zusammengefasst. Ich habe sie absichtlich getrennt, damit Du die beiden darin enthaltenen, voneinander unabhängigen Eigenschaften des Systems erkennst. Die Eigenschaften "Linearität" und "Proportionalität" sind nur für ganzzahlige Faktoren a gleichbedeutend.
Zeitinvarianz
Für die Zeitinvarianz nutzt Du die unten im Bild zitierte Definition. Sie stammt aus Rupprecht, Signale und Übertragungssysteme, Springer (ISBN 978-3-540-56853-7). Der Pfeil
verbindet das Eingangs- und Ausgangssignal des Übertragungskanals, d. h.
Viele Grüße
Michael
Gast006
Verfasst am: 25. Dez 2020 21:43
Titel: Re: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen
Gast006 hat Folgendes geschrieben:
Das steht hier
TomS
Verfasst am: 25. Dez 2020 19:51
Titel:
Linearität in t
besagt
s(t) analog.
Die Gültigkeit des Superpositionsprinzips besagt
nicht
, dass g(t), s(t) in diesem Sinne
linear in t
sind, sondern dass eine
lineare Gleichung
zu lösen ist, so dass Summen über deren Lösungen wieder Lösungen ergeben; dazu müssen diese Lösungen jedoch
nicht
unbedingt linear sein.
Du müsstest also genauer angeben, welche Definition vorliegt - Linearität der
Funktionen
oder
Linearität einer Gleichung
mit Superpositionsprinzip, und welcher Gleichung - und was genau zu zeigen ist.
Und die Notation
Gast006 hat Folgendes geschrieben:
kenne ich nicht.
Gast006
Verfasst am: 25. Dez 2020 18:23
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich denke, die Bedingungen sind anders aufzufassen:
Linearität: g(t) und s(t) sind linear in t
Zeitinvarianz: die Beziehung zwischen g(t) und s(t) gilt für jedes t
Das soll man ja mittels der Linearität überprüfen. Dabei haben wir das Superpositionsprinzip.
Die Frage ist wie man das mittels des Superpositionsprinzips beweist, dass es nicht linear ist.
TomS
Verfasst am: 25. Dez 2020 18:20
Titel:
Ich denke, die Bedingungen sind anders aufzufassen:
Linearität: g(t) und s(t) sind linear in t
Zeitinvarianz: die Beziehung zwischen g(t) und s(t) gilt für jedes t
Gast006
Verfasst am: 25. Dez 2020 17:37
Titel:
Bei 1) sollte da folgendes stehen:
Gast006
Verfasst am: 25. Dez 2020 17:33
Titel: System auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen
Meine Frage:
Wie überprüft man folgendes System auf Linearität und Zeitinvarianz:
Meine Ideen:
Die Bedingung für Linearität ist zunächst einmal das Superpositionsprinzip:
Wäre hier dann:
1)
oder
2)
Wenn 2 richtig wäre, wie schreibe ich das dann in der Linearkombination der beiden auf also: