Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Quantenphysik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="index_razor"][quote="Cornelius Scipio"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, ich habe eine Frage: Gilt [latex]\sum\limits_{k=0}^\infty \psi^{*}_{n}(x)\psi_{n}(x')=\delta (x-x')[/latex] wenn die Psi die normierten Eigenzustände eines harmonischen Oszillators sind und falls ja, warum? [/quote] Ja, das bedeutet nichts anderes, als daß du jeden Zustand des harmonischen Oszillators nach Eigenzuständen seines Hamiltonoperators entwickeln kannst [latex]|f\rangle = \sum_n |\psi_n\rangle \langle \psi_n|f\rangle.\qquad\text{(1)}[/latex] Denn die letzte Gl. ist nur eine abstrakte Umformulierung von [latex]f(x) = \sum_n \psi_n(x)\left(\int\dd^3 y \psi_n(y)^\star f(y)\right) = \int\dd^3 y \left(\sum_n \psi_n(x)\psi_n(y)^\star\right) f(y),[/latex] d.h. die Summe unter dem Integral erfüllt also genau die definierende Eigenschaft der [latex]\delta[/latex]-Funktion. Letzlich folgt die Behauptung also daraus, daß [latex]\psi_n[/latex] eine Hilbertraumbasis bildet. Ich weiß nicht, wie sehr du an den Details dieses konkreten Falls interessiert bist. Aber man kann für Hermite-Funktionen explizit zeigen, daß sie alle orthogonal zueinander sind und es keine weiteren normierten Funktionen gibt, die orthogonal zu allen [latex]\psi_n[/latex] sind. Daraus ergäbe sich dann (1). Die Formel [latex]\sum_n \psi_n(x)^\star \psi_n(y) = \delta(x-y),[/latex] sowie Gl (1) gelten in diesem Fall nur, weil das komplette Spektrum des harmonischen Oszillators diskret ist. Ansonsten muß man formal von der Summe zu einem Integral übergehen und kann die Vollständigkeitsrelation nicht mehr mittels Eigenzuständen von H (also Vektoren im Hilbertraum) allein ausdrücken.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
index_razor
Verfasst am: 03. Dez 2020 14:28
Titel: Re: Vollständigkeitsrelation, Ortsabhängigkeit
Cornelius Scipio hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage:
Gilt
wenn die Psi die normierten Eigenzustände eines harmonischen Oszillators sind und falls ja, warum?
Ja, das bedeutet nichts anderes, als daß du jeden Zustand des harmonischen Oszillators nach Eigenzuständen seines Hamiltonoperators entwickeln kannst
Denn die letzte Gl. ist nur eine abstrakte Umformulierung von
d.h. die Summe unter dem Integral erfüllt also genau die definierende Eigenschaft der
-Funktion.
Letzlich folgt die Behauptung also daraus, daß
eine Hilbertraumbasis bildet. Ich weiß nicht, wie sehr du an den Details dieses konkreten Falls interessiert bist. Aber man kann für Hermite-Funktionen explizit zeigen, daß sie alle orthogonal zueinander sind und es keine weiteren normierten Funktionen gibt, die orthogonal zu allen
sind. Daraus ergäbe sich dann (1).
Die Formel
sowie Gl (1) gelten in diesem Fall nur, weil das komplette Spektrum des harmonischen Oszillators diskret ist. Ansonsten muß man formal von der Summe zu einem Integral übergehen und kann die Vollständigkeitsrelation nicht mehr mittels Eigenzuständen von H (also Vektoren im Hilbertraum) allein ausdrücken.
TomS
Verfasst am: 03. Dez 2020 12:16
Titel:
Anstatt das mathematisch zu zeigen, motiviere ich das physikalisch:
Die Eigenvektoren von selbstadjungierten Operatoren im Hilbertraum bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Demzufolge gilt auch für die Eigenzustände des Hamiltonoperators H des harmonischen Oszillators
Für die Hermitefunktionen h_n(x) als Eigenfunktionen des Hamiltonoperators in Ortsdarstellung
und mit
folgt dann
Das letzte Gleichheitszeichen folgt mittels der Vollständigkeitsrelation der Ortseigenzustände bzw. der Dartstellung der delta-Funktion mittels ebener Wellen.
Diese Argumentation, d.h. das Zurückführen auf die Vollständigkeit der Ortseigenzustände gilt für jeden selbstadjungierten Hamiltonoperator, also für jedes quantenmechanische System
Cornelius Scipio
Verfasst am: 03. Dez 2020 10:19
Titel: Vollständigkeitsrelation, Ortsabhängigkeit
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage:
Gilt
wenn die Psi die normierten Eigenzustände eines harmonischen Oszillators sind und falls ja, warum?
Meine Ideen:
Mir ist aufgefallen, dass es Ähnlichkeiten zur Vollständigkeitsrelation besitzt und somit gerade die Einheitsmatrix ergäb, wenn x=x' wäre, jetzt müsste ich also nur wissen, warum hier gerade die Delta Funktion herauskommt. Leider konnte ich dazu keine Erklärung finden.
Danke im Voraus!