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[quote="index_razor"][quote="Ahornklee"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, die allgemeine konservative Kraft ist ja folgendermaßen definiert: [latex]F\dot{r}=-\frac{dU}{dt}[/latex] in einem solchen Fall kann man ja auf der rechten Seite von [latex]F=-\nabla U[/latex] noch einen beliebigen Term, der senkrecht zu [latex]\dot{r}[/latex] steht, addieren. Gilt in einem solchen Fall dann überhaupt, dass das Integral über einen geschlossenen Weg 0 ist, bzw. rotF=0? [/quote] Als Definition verwendet man üblicherweise die zweite Gleichung [latex]F=-\nabla U[/latex] oder irgendeine dazu äquivalente Aussage, wie [latex]\nabla\times F=0[/latex]. Daraus folgt dann natürlich für [i]jeden Weg[/i] [latex]r(t)[/latex] die Beziehung [latex]F(r(t))\cdot \dot r = -\frac{\dd}{\dd t} U(r(t)).[/latex] Das kann man sicher auch als Definition verwenden. Aber der einzige Vektor, der orthogonal zu [i]jedem[/i] Vektor [latex]\dot r[/latex] ist, wäre der Nullvektor. Damit ist der Inhalt der Frage nicht so richtig klar. Wenn du einen bestimmten Weg auswählst und dann ein Vektorfeld [latex]F'(r(t))\perp \dot r[/latex] zu [latex]F[/latex] addierst, dann wüßte ich nicht, warum das Ergebnis wieder konservativ sein sollte.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 19. Okt 2020 12:50
Titel:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Die Bedingung
ist
nicht
hinreichend für das Verschwinden des geschlossenen Wegintegrals. Das hängt sehr stark von der Topologie des Definitionsbereichs ab.
Du hast recht, ich ändere das ab.
index_razor
Verfasst am: 19. Okt 2020 09:23
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
1) Für eine rein ortsabhängige Kraft gilt
Wenn die linken Seiten erfüllt ist, spricht man von einer
konservativen Kraft
; daraus folgt, dass entlang geschlossener Wege keine Arbeit verrichtet wird, bzw. dass die entlang eines Weges verrichtete Arbeit ausschließlich von Anfangs- und Endpunkt abhängt.
Diese Bedingungen sind
hinreichend
, damit die rechte Seite gilt, jedoch nicht
notwendig
.
Die zweite Implikation ist genau verkehrtherum. Die Bedingung
ist
nicht
hinreichend für das Verschwinden des geschlossenen Wegintegrals. Das hängt sehr stark von der Topologie des Definitionsbereichs ab; ob
hingegen nicht. Notwendig ist die Bedingung aber wohl schon, wegen des Satzes von Stokes. Im
sind allerdings tatsächlich alle diese Bedingungen äquivalent.
index_razor
Verfasst am: 19. Okt 2020 07:42
Titel:
Ahornklee hat Folgendes geschrieben:
also man kann ja immer sowas machen:
Da ist das addierte zwangsläufig orthoganal zu der Zeitableitung von r. Laut unserem Skript ist das eine allgemeine konservative Kraft aufgrund der Definition über die Zeitbaleitung von Potential U.
Ok, das ist eine "konservative Kraft" in dem Sinne, daß sie aus einem verallgemeinerten Potential folgt. Es gilt dann also
Daran sieht man ja schon, daß sich die Bedingungen im Gegensatz zu rein ortsabhängigen Kraftfeldern etwas ändern. Es ergibt auch tatsächlich keinen Sinn mehr von der "Rotation" eines solchen Kraftfeldes zu reden. (Es gibt allerdings Verallgemeinerungen für diesen Begriff auf geschwindigkeitsabhängige Kräfte.)
Deine Frage berührt übrigens das sogenannte "Inverse Problem der Lagrange-Mechanik" zu einer gegebenen Bewegungsgleichung die zugehörige Lagrangefunktion zu finden. Dafür sind einige notwendige und hinreichende Bedingungen bekannt, die man als Verallgemeinerungen der Frage auffassen kann ob zu einem rotationsfreien Vektorfeld ein Potential existiert. (Siehe:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem_for_Lagrangian_mechanics
)
TomS
Verfasst am: 19. Okt 2020 07:13
Titel:
Es gibt zwei verschiedene Definitionen:
1) Für eine rein ortsabhängige Kraft gilt
*) gilt in dieser Form nur für einfach zusammenhängende Bereich im R³
Wenn die linken Seiten erfüllt sind, spricht man von einer
konservativen Kraft
; daraus folgt, dass entlang geschlossener Wege keine Arbeit verrichtet wird, bzw. dass die entlang eines Weges verrichtete Arbeit ausschließlich von Anfangs- und Endpunkt abhängt.
Diese Bedingungen sind
hinreichend
, damit die rechte Seite gilt, jedoch nicht
notwendig
.
2) Man kann eine
verallgemeinerte
konservative Kraft durch die rechte Seite
definieren. In diesem Sinne ist auch die Lorentzkraft eine eine
verallgemeinerte
konservative Kraft, sie ist jedoch nicht mehr rein ortsabhängig.
Ich habe mir gerade die relevanten Wikipedia-Seiten angesehen; sie sind unpräzise, in dem sie behaupten, dass die rechte sowie die linken Seiten äquivalent seien, was tatsächlich nicht stimmt. Die linken Seiten sind hinreichend, jedoch nicht notwendig, d.h.
ist nicht korrekt, es sei denn, man beschränkt sich auf rein ortsabhängige Kräfte.
Ahornklee
Verfasst am: 19. Okt 2020 02:46
Titel:
also man kann ja immer sowas machen:
Da ist das addierte zwangsläufig orthoganal zu der Zeitableitung von r. Laut unserem Skript ist das eine allgemeine konservative Kraft aufgrund der Definition über die Zeitbaleitung von Potential U.
Dadurch verändern sich jedoch einige Sachen, beispielsweise bekommt die Lagrange Gleichung 2. Art einen zusätzlichen orthogonalen Term.
Aber für diese Art Kraft würden die "klassischen" Eigenschaften einer konservativen Kraft, also unter anderem rotF=0 im Allgemeinen nicht mehr gelten, oder?
TomS
Verfasst am: 18. Okt 2020 23:28
Titel: Re: Wegintegral über allgemeine konservative Kraft
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Wenn du einen bestimmten Weg auswählst und dann ein Vektorfeld
zu
addierst, dann wüßte ich nicht, warum das Ergebnis wieder konservativ sein sollte.
Es erscheint nur so:
wg.
Aber das gilt nur für spezielle Vektorfelder je Weg C; für einen anderen Weg C benötigt man ein anderes Vektorfeld (bzw. eine andere Äquivalenzklasse).
M.E. führt das zu nichts.
index_razor
Verfasst am: 18. Okt 2020 19:13
Titel: Re: Wegintegral über allgemeine konservative Kraft
Ahornklee hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Hallo,
die allgemeine konservative Kraft ist ja folgendermaßen definiert:
in einem solchen Fall kann man ja auf der rechten Seite von
noch einen beliebigen Term, der senkrecht zu
steht, addieren.
Gilt in einem solchen Fall dann überhaupt, dass das Integral über einen geschlossenen Weg 0 ist, bzw. rotF=0?
Als Definition verwendet man üblicherweise die zweite Gleichung
oder irgendeine dazu äquivalente Aussage, wie
. Daraus folgt dann natürlich für
jeden Weg
die Beziehung
Das kann man sicher auch als Definition verwenden. Aber der einzige Vektor, der orthogonal zu
jedem
Vektor
ist, wäre der Nullvektor. Damit ist der Inhalt der Frage nicht so richtig klar. Wenn du einen bestimmten Weg auswählst und dann ein Vektorfeld
zu
addierst, dann wüßte ich nicht, warum das Ergebnis wieder konservativ sein sollte.
Ahornklee
Verfasst am: 18. Okt 2020 18:22
Titel: Wegintegral über allgemeine konservative Kraft
Meine Frage:
Hallo,
die allgemeine konservative Kraft ist ja folgendermaßen definiert:
in einem solchen Fall kann man ja auf der rechten Seite von
noch einen beliebigen Term, der senkrecht zu
steht, addieren.
Gilt in einem solchen Fall dann überhaupt, dass das Integral über einen geschlossenen Weg 0 ist, bzw. rotF=0?
Meine Ideen:
Eigentlich müsste es ja so sein, weil der Zusatzterm auch in das Integralreinspielt, oder fällt der Term beim integrieren raus?
Eigentlich müssten die Eigenschaften für die "normale" Konservativen Kräfte ja weiterhin gültig sein, da sonst die Bezeichnung "konservative Kraft" keine Berechtigung mehr hätte.