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[quote="index_razor"][quote="Perry Rhodan"] Wenn man sich die Coulombeichung ohne Quellen anschaut, also unter anderem [latex]\rho=0[/latex] gilt, so wird ja die erste Maxwellsche Gleichung zur Laplace-Gleichung [latex]\nabla^{2}\phi=0[/latex] Nun steht in sämtlichen Texten, die mir zur Verfügung stehen, es folge daraus, dass [latex]E=-\frac{1}{c}\frac{\partial A}{\partial t}[/latex] da nun [latex]\phi=0[/latex] gelte. (Die Angabe von E oben ist im Gauß-Einheiten System, in SI-EInheiten wäre der Faktor mit 1 durch c stattdessen einfach 1) Ich verstehe jedoch nicht, warum aus der Laplace Gleichung phi gleich 0 folgen sollte, das ist doch nur eine von vielen Lösungen. [/quote] So viele Lösungen gibt es da nicht. Für Dirichletsche Randbedingungen lautet die allgemeine Lösung der Poissongleichung [latex]\phi(x) = \int_V \frac{\rho(y)}{\|x-y\|}\ \dd^3 y + \frac{1}{4\pi}\oint_{\partial V} \phi(y)\frac{(x-y)\cdot \vec{n}}{\| x- y\|^3}\ \dd^2 y,[/latex] wenn sich außerhalb von V keine Ladungen befinden. Für [latex]\rho = 0[/latex] und Randbedingungen im Unendlichen muß [latex]\phi\to 0[/latex] gelten [[i]EDIT[/i]: nicht ganz, siehe unten]. Und damit folgt [latex]\phi = 0[/latex]. (Für Neumannsche Randbedingungen ist das Argument etwas komplizierter, aber wenn ich das richtig sehe, ergibt sich, daß [latex]\partial\phi/\partial n[/latex] schneller abfallen muß als [latex]1/R[/latex]. Damit folgt im wesentlichen dieselbe Aussage über [latex]\phi[/latex]. Insbesondere muß ein konstanter Gradient [latex]\nabla \phi[/latex] verschwinden.) [i]EDIT[/i]: Nachdem ich nochmal die Potenzen nachgezählt habe, glaube ich, daß aus meinem Argument nur [latex]\phi = \rm{const.}[/latex] folgt. Das macht aber wohl nichts, denn diese Konstante kann weggeeicht werden ohne die Coulomb-Eichbedingung zu verletzen.[/quote]
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index_razor
Verfasst am: 18. Okt 2020 15:52
Titel:
Aber du mußt ja trotzdem noch geeignete Randbedingungen angeben. Die führen m.E. mit dem obigen Argument über die Greenschen Identitäten auf
Damit wird dann o.B.d.A. durch Umeichung
.
Perry Rhodan
Verfasst am: 18. Okt 2020 15:39
Titel:
Aber wenn ich die Laplacegleichung mit einem separationsnsatz löse, erhalte ich doch unendlich viele Lösungen, die ungleich 0 sind, oder nicht?
index_razor
Verfasst am: 18. Okt 2020 09:51
Titel: Re: Elektrisches Feld unter Coulombeichung
Perry Rhodan hat Folgendes geschrieben:
Wenn man sich die Coulombeichung ohne Quellen anschaut, also unter anderem
gilt, so wird ja die erste Maxwellsche Gleichung zur Laplace-Gleichung
Nun steht in sämtlichen Texten, die mir zur Verfügung stehen, es folge daraus, dass
da nun
gelte. (Die Angabe von E oben ist im Gauß-Einheiten System, in SI-EInheiten wäre der Faktor mit 1 durch c stattdessen einfach 1)
Ich verstehe jedoch nicht, warum aus der Laplace Gleichung phi gleich 0 folgen sollte, das ist doch nur eine von vielen Lösungen.
So viele Lösungen gibt es da nicht. Für Dirichletsche Randbedingungen lautet die allgemeine Lösung der Poissongleichung
wenn sich außerhalb von V keine Ladungen befinden. Für
und Randbedingungen im Unendlichen muß
gelten [
EDIT
: nicht ganz, siehe unten]. Und damit folgt
. (Für Neumannsche Randbedingungen ist das Argument etwas komplizierter, aber wenn ich das richtig sehe, ergibt sich, daß
schneller abfallen muß als
. Damit folgt im wesentlichen dieselbe Aussage über
. Insbesondere muß ein konstanter Gradient
verschwinden.)
EDIT
: Nachdem ich nochmal die Potenzen nachgezählt habe, glaube ich, daß aus meinem Argument nur
folgt. Das macht aber wohl nichts, denn diese Konstante kann weggeeicht werden ohne die Coulomb-Eichbedingung zu verletzen.
TomS
Verfasst am: 18. Okt 2020 09:44
Titel:
Zunächst hat die Poisson-Gleichung
die allgemeine Lösung
mit einer beliebigen harmonischen Funktion
Im quellenfreien Fall
gilt demnach
Betrachtest du nun eine Punktladung am Ort r = a
so folgt aus der o.g. Lösung der Poisson-Gleichung genau dann das Coulomb-Feld
wenn
Es liegt also nahe, diese harmonische Funktion zu Null setzen.
Im Falle komplizierter Randbedingungen ist dies nicht so einfach, aber im R^3 mit Ladungsdichten, die auf einen endlichen Bereich beschränkt sind, sowie unter Abwesenheit von Grenzflächen, die weitere Randbedingungen festlegen würden, ist die physikalisch sinnvolle Lösung.
Perry Rhodan
Verfasst am: 17. Okt 2020 19:04
Titel: Elektrisches Feld unter Coulombeichung
Meine Frage:
Guten Tag.
Ich habe mir noch einmal die Lorenz- und die Coulombeichung genauer angeschaut und bin dabei auf etwas gestoßen, was ich nicht ganz verstehe:
Wenn man sich die Coulombeichung ohne Quellen anschaut, also unter anderem
gilt, so wird ja die erste Maxwellsche Gleichung zur Laplace-Gleichung
Nun steht in sämtlichen Texten, die mir zur Verfügung stehen, es folge daraus, dass
da nun
gelte. (Die Angabe von E oben ist im Gauß-Einheiten System, in SI-EInheiten wäre der Faktor mit 1 durch c stattdessen einfach 1)
Ich verstehe jedoch nicht, warum aus der Laplace Gleichung phi gleich 0 folgen sollte, das ist doch nur eine von vielen Lösungen.
Meine Ideen:
Mein Erklärungsversuch wäre gewesen, es damit zu begründen, dass aus der Laplace Gleichung folgt, dass
Und man somit diese Konstante in der Gleichung
gleich 0 setzen darf, da sie nicht zu den Feldern beiträgt, aber das ist doch Blödsinn, weil sich das elektrische Feld sehr wohl durch so eine Konstante ändert. Es muss also tatsächlich irgendwie phi gleich 0 oder konstant folgen, doch da ist mir nicht klar, wie.
Vielleicht kann mir das jemand aus diesem Forum verständlich machen.