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[quote="Harmonischer Mensch"][b]Meine Frage:[/b] Ein Teilchen mit der Masse m kann sich in zwei Dimensionen bewegen. Es tut dies im Potential, das gegeben ist durch: [latex]V(x,y)=\frac{m\omega^{2}y^{2}}{2} [/latex] für [latex]0<x<a[/latex], für alle anderen x Werte ist es unendlich groß. Man soll jetzt die Energie-Eigenfunktionen, sowie die Energieeigenwerte angeben. [b]Meine Ideen:[/b] Der Hamiltonoperator ist hier ja [latex]H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{m\omega^{2}y^{2}}{2} [/latex] nach dem Teil mit dem Impulsoperator für die x-Komponente habe ich ja den Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators, also: [latex]H=H_{x}+H_{h}[/latex] Hier habe ich einen Separationsansatz gemacht: [latex] \psi (x,y) = X (x) Y (y)[/latex] wobei: [latex]X (x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)[/latex] und [latex]Y(y)=\frac{1}{\sqrt{n!2^{n}}}(\frac{m\omega}{\pi \hbar})^{\frac{1}{4}}exp(-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar})H_{n}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x) [/latex] wobei zweiteres die Lösungen des 1-dimensionalen harmonischen Oszillators sind. Aus den Rand-/Stetigkeitsbedingungen für x folgt, dass [latex]A+B=0[/latex] und [latex]Aexp(ika)+Bexp(-ika)=0[/latex] und somit [latex]2iAsin(ka)=0[/latex] somit bekommt man [latex]k_{n}=\frac{n\pi}{a}[/latex] dann setze ich [latex]2iA=C[/latex]. Nun kann ich die Energieeigenwerte direkt ablesen: [latex]E_{n_{x},n_{y}}=\frac{\hbar^{2}k_{n_{x}}^{2}}{2m}+\hbar \omega (n_{y}+\frac{1}{2}) [/latex] Und theroetisch habe ich auch schon [latex]\psi(x,y)[/latex] da ich ja [latex]X (x)Y(y)[/latex] gerade bestimmt habe. Mein Problem und meine eigentliche Frage ist nun: Wie kann ich diese Eigenfunktion normieren, also wie bestimme ich die Konstante C? die Y(y) sind ja bereits normiert. Kann ich einfach die X (x) so normieren, wie wenn ich einen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden in einer Dimension betrachten würde? Also: Wie finde ich den Faktor C, so dass [latex]\int|\psi(x,y)|^{2}d^{2}r=\int|X (x)Y(y)|^{2}d^{2}r=1[/latex] Bitte auch bescheid geben, wenn ich muich irgendwo verrechnet habe.[/quote]
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jh8979
Verfasst am: 04. Jun 2020 14:52
Titel:
Harmonischer Mensch hat Folgendes geschrieben:
Edit
<imgrsc= ist ein großes X und bei der undefined control sequence steht 2iA=C
Da scheint was mit den Befhelen schiefgelaufen zu sein
Hab's repariert.
Harmonischer Mensch
Verfasst am: 04. Jun 2020 14:16
Titel:
Edit
<imgrsc= ist ein großes X und bei der undefined control sequence steht 2iA=C
Da scheint was mit den Befhelen schiefgelaufen zu sein
Harmonischer Mensch
Verfasst am: 04. Jun 2020 14:11
Titel: Zweidimensional bewegliches Teilchen in harmonischem Potenti
Meine Frage:
Ein Teilchen mit der Masse m kann sich in zwei Dimensionen bewegen. Es tut dies im Potential, das gegeben ist durch:
für
, für alle anderen x Werte ist es unendlich groß.
Man soll jetzt die Energie-Eigenfunktionen, sowie die Energieeigenwerte angeben.
Meine Ideen:
Der Hamiltonoperator ist hier ja
nach dem Teil mit dem Impulsoperator für die x-Komponente habe ich ja den Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators, also:
Hier habe ich einen Separationsansatz gemacht:
wobei:
und
wobei zweiteres die Lösungen des 1-dimensionalen harmonischen Oszillators sind.
Aus den Rand-/Stetigkeitsbedingungen für x folgt, dass
und
und somit
somit bekommt man
dann setze ich
.
Nun kann ich die Energieeigenwerte direkt ablesen:
Und theroetisch habe ich auch schon
da ich ja
gerade bestimmt habe. Mein Problem und meine eigentliche Frage ist nun:
Wie kann ich diese Eigenfunktion normieren, also wie bestimme ich die Konstante C? die Y(y) sind ja bereits normiert. Kann ich einfach die X (x) so normieren, wie wenn ich einen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden in einer Dimension betrachten würde?
Also: Wie finde ich den Faktor C, so dass
Bitte auch bescheid geben, wenn ich muich irgendwo verrechnet habe.