Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Quantenphysik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="index_razor"]Als Ergänzung will ich mal den Grenzprozeß noch etwas ausführlicher beschreiben. [quote="kathi02"] [b]Meine Ideen:[/b] Edit: Wenn ich das richtig sehe, bilden die Exponentialfunktionen so etwas wie die Basisvektoren. Ich verstehe nur nicht die Notwendigkeit, dass die [latex] c_n [/latex] die Form [latex] c_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k) dk [/latex] haben müssen und nicht einfach [latex] c_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k) [/latex]. Vielleicht wird mein Problem so deutlicher. [/quote] Für die Fourierreihenentwicklung kommen ja nur periodische Funktionen auf einem endlichen Intervall, z.B. [-a, a] in Betracht. Die [i]normierten[/i] Basisvektoren, sind in diesem Fall [latex]\phi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2a}}e^{ik_n x}[/latex] mit [latex]k_n = \pi n/a[/latex]. Das bedeutet [latex]\Delta k = \pi / a[/latex]. Also gilt schon mal [latex]\phi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ik_n x}\sqrt{\Delta k}.[/latex] Jetzt definiert man einfach [latex]\hat\phi(k_n, a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-a}^a \dx e^{-ik_n x} \phi(x).[/latex] Damit gilt [latex]\hat\phi(k_n, a)\sqrt{\Delta k} = c_n[/latex] für das [latex]c_n[/latex], das du definiert hast. Die Fourier-Reihe von [latex]\phi[/latex] lautet damit [latex]\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_n \hat\phi(k_n, a)e^{ik_n x}\Delta k[/latex]. Für den Übergang zur Fouriertransformation muß man nun den Grenzwert [latex]a\to \infty[/latex] betrachten, bei dem also [latex]\Delta k\to 0[/latex] geht. Wenn [latex]\hat\phi(k_n, a)e^{ik_n x}[/latex] diesen Grenzprozeß ohne Probleme mitmacht, d.h. es gibt irgendein*) [latex]\hat\phi(k)= \lim_{a\to\infty}\hat\phi(k_n, a),[/latex] dann definiert dieser Grenzwert ein Integral von [latex]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat\phi(k)e^{ikx}[/latex] über k. _______ *) In welchem Sinne dieser Grenzwert aufzufassen ist, sei mal dahingestellt.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
kathi02
Verfasst am: 13. Mai 2020 20:28
Titel:
Vielen lieben Dank euch beiden
index_razor
Verfasst am: 13. Mai 2020 18:53
Titel: Re: Superposition und Wellenpakete
Als Ergänzung will ich mal den Grenzprozeß noch etwas ausführlicher beschreiben.
kathi02 hat Folgendes geschrieben:
Meine Ideen:
Edit:
Wenn ich das richtig sehe, bilden die Exponentialfunktionen so etwas wie die
Basisvektoren. Ich verstehe nur nicht die Notwendigkeit, dass die
die Form
haben müssen und nicht einfach
.
Vielleicht wird mein Problem so deutlicher.
Für die Fourierreihenentwicklung kommen ja nur periodische Funktionen auf einem endlichen Intervall, z.B. [-a, a] in Betracht. Die
normierten
Basisvektoren, sind in diesem Fall
mit
. Das bedeutet
. Also gilt schon mal
Jetzt definiert man einfach
Damit gilt
für das
, das du definiert hast. Die Fourier-Reihe von
lautet damit
.
Für den Übergang zur Fouriertransformation muß man nun den Grenzwert
betrachten, bei dem also
geht. Wenn
diesen Grenzprozeß ohne Probleme mitmacht, d.h. es gibt irgendein*)
dann definiert dieser Grenzwert ein Integral von
über k.
_______
*) In welchem Sinne dieser Grenzwert aufzufassen ist, sei mal dahingestellt.
TomS
Verfasst am: 13. Mai 2020 14:01
Titel:
In deinen Exponenten fehlt das „t“ ;-
Wenn n diskret ist, dann auch k_n, E_n. Statt der Summe über n kannst du eine Summe über k schreiben, auch wenn k nicht ganzzahlig ist.
k durchläuft dann diskrete, nicht-ganzzahlige Werte
Damit hast du
Nun folgt das Integral mittels
kathi02
Verfasst am: 13. Mai 2020 09:19
Titel: Superposition und Wellenpakete
Meine Frage:
Hi Leute
ich hoffe, dass ihr mir bei folgendem Problem helfen könnt:
Wenn
und
die Schrödinger-
Gleichung lösen, so löst auch
die Schrödingergleichung. Oder eben allgemein gesagt
.
Nun zu meiner Frage:
Bei einem freien Teilchen setzt sich die allgemeine Lösung aus dem Ausdruck
zusammen.
Wie aber kommt man in diesem Fall von der Summe zu dem Integral?
Meine Ideen:
Edit:
Wenn ich das richtig sehe, bilden die Exponentialfunktionen so etwas wie die
Basisvektoren. Ich verstehe nur nicht die Notwendigkeit, dass die
die Form
haben müssen und nicht einfach
.
Vielleicht wird mein Problem so deutlicher.
Würde mich über eure Hilfe freuen!
Liebe Grüße Kathi