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[quote="ammoniumnitrat"][b]Meine Frage:[/b] Hallo zusammen, ich möchte den Bremsweg einer Maschine ausrechnen. Sie hat zum Zeitpunkt [latex]t = 0[/latex] die Ausgangsgeschwindigkeit [latex]v_{0}[/latex]. Sie wird gebremst von einer konstanten Kraft [latex]F_{K}[/latex] (Summe aus Rollwiderstand, Hangabtriebskraft, ggfs. mechanische Bremskraft) und einer konstanten Bremsleistung [latex]P_{Schlepp}[/latex]. Die reduzierte Maschinenmasse beträgt [latex]m_{ges}[/latex]. Gesucht ist der Weg bis zum Stillstand. Beim Thema Differentialgleichungen tun sich beim mir leider doch gewaltige Lücken auf, die ich gerne im Rahmen dieser Aufgabe zu schließen beginnen würde. Bin sehr froh, wenn neben einer Lösung mal grundsätzlich Ordnung in den Schädel kommt. Danke schonmal! [b]Meine Ideen:[/b] Ich habe mit mehreren Ansätzen rumgebastelt, bin aber nirgends zum Ziel gekommen. Hängt es am Ansatz oder an der Ausführung? Ansatz 1 - Bewegungsgleichung: [latex]0 = F_{K} + \frac{P_{Schlepp}}{\dot{x}}-\ddot{x} m_{ges}[/latex] mit der Anfangsbedingung [latex]\dot{x}(t=0)=v_{0}[/latex] Der Exponentialansatz [latex]x(t)=ce^{\lambda t}[/latex] war ziemlich schnell Schluss, da sich der Term [latex]x(t)=ce^{\lambda t}[/latex] nach Einsetzen der Ableitungen nicht herauswerfen lässt. Dürfte eh falsch sein? Dann habe ich den Weg über Trennung der Variablen / Variation der Konstanten probiert. mit [latex]F_{K}=0[/latex] ergibt sich [latex]0 = \frac{P_{Schlepp} *dt}{dx}-\frac{d^{2}x}{d t^{2}} m_{ges}[/latex] Hier beginnen bereits meine Probleme mit der Umstellung. [latex]\frac{d^{2}x}{d t^{2}}*\frac{dx}{dt} = \frac{P_{Schlepp}}{m_{ges}} [/latex] Wie vereinfache ich das weiter? Der Umgang mit den Differentialoperatoren verwirrt mich immer wieder. Oder ist sowieso der Ansatz falsch? Ansatz 2 - Energieansatz [latex] E_{kin} = P_{Schlepp}*t_{Brems} + F_{K}*x(t) [/latex] Und da hört es auch schon wieder auf. Welche Randbedingung habe ich noch übersehen? Ansatz 3 - a = a(v) Diesen Ansatz habe ich in einem Buch für technische Mechanik aufgeschnappt. mit [latex] t = t_{0}+\int_y^z \! \frac{1}{a(v)} \, \dd v [/latex] und [latex] x = x_{0}+\int_y^z \! \frac{v}{a(v)} \, \dd v [/latex] und umgestellt aus der Bewegungsgleichung [latex] a(v)=\frac {F_{K}+P_{Schlepp}v}{m_{ges}} [/latex] Daraus ergibt sich [latex] t = t_{0}+\int_y^z \! \frac {m_{ges}}{F_{K}+P_{Schlepp}v} \, \dd v [/latex] sowie [latex] x = x_{0}+\int_y^z \! \frac {m_{ges}v}{F_{K}+P_{Schlepp}v} \, \dd v [/latex] Die Integrationsgrenzen sind [latex] y = v_{0}[/latex] und [latex]z=0 [/latex]. Hier tue ich mich schwer, das Integral zu bilden. Ist mir fast ein bisschen peinlich. Fast. :-D Danke im Voraus![/quote]
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jh8979
Verfasst am: 12. Mai 2020 13:50
Titel: Re: Bremsvorgang mit Energieansatz vs. DGL
Ist übrigens die gleiche Rechnung, wenn ich hier starte
ammoniumnitrat hat Folgendes geschrieben:
Ansatz 2 - Energieansatz
Und da hört es auch schon wieder auf. Welche Randbedingung habe ich noch übersehen?
und nach t ableite.
Mathefix
Verfasst am: 12. Mai 2020 11:19
Titel:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Ich denke am einfachsten ist es die DGL mit x-Punkt zu mulitplizieren und zu erkennen, dass
.
Substitution und Separation der Variablen führt dann zu einem Integral der Form
. Ist jetzt auch nicht supereasy, aber läßt sich nachschlagen.
@jh8979
Dein direkter Weg ist einfacher.
jh8979
Verfasst am: 11. Mai 2020 20:09
Titel:
Ich denke am einfachsten ist es die DGL mit x-Punkt zu mulitplizieren und zu erkennen, dass
.
Substitution und Separation der Variablen führt dann zu einem Integral der Form
. Ist jetzt auch nicht supereasy, aber läßt sich nachschlagen.
Mathefix
Verfasst am: 11. Mai 2020 19:00
Titel:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Homogenisieren
Ab hier nach Vorschlag von jh8979:
Aufgabe ist lösbar - nur noch Rechnerei. Wer Zeit und Lust hat kann ja weitermachen.
isi1
Verfasst am: 11. Mai 2020 14:22
Titel: Re: Bremsvorgang mit Energieansatz vs. DGL
ammoniumnitrat hat Folgendes geschrieben:
Ansatz 1 - Bewegungsgleichung:
mit der Anfangsbedingung
Der Exponentialansatz
war ziemlich schnell Schluss, da sich der Term
nach Einsetzen der Ableitungen nicht herauswerfen lässt. Dürfte eh falsch sein?
Dann habe ich den Weg über Trennung der Variablen / Variation der Konstanten probiert.
Vielleicht so:
Fk + P/x' - m x'' = 0 .... Substitution x' = u
Fk/m +P/m * 1/u = u'
u' = Fk/m + P/m * 1/u ... Itegrieren
ammoniumnitrat
Verfasst am: 07. Mai 2020 23:15
Titel: Bremsvorgang mit Energieansatz vs. DGL
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich möchte den Bremsweg einer Maschine ausrechnen. Sie hat zum Zeitpunkt
die Ausgangsgeschwindigkeit
. Sie wird gebremst von einer konstanten Kraft
(Summe aus Rollwiderstand, Hangabtriebskraft, ggfs. mechanische Bremskraft) und einer konstanten Bremsleistung
. Die reduzierte Maschinenmasse beträgt
. Gesucht ist der Weg bis zum Stillstand.
Beim Thema Differentialgleichungen tun sich beim mir leider doch gewaltige Lücken auf, die ich gerne im Rahmen dieser Aufgabe zu schließen beginnen würde.
Bin sehr froh, wenn neben einer Lösung mal grundsätzlich Ordnung in den Schädel kommt. Danke schonmal!
Meine Ideen:
Ich habe mit mehreren Ansätzen rumgebastelt, bin aber nirgends zum Ziel gekommen. Hängt es am Ansatz oder an der Ausführung?
Ansatz 1 - Bewegungsgleichung:
mit der Anfangsbedingung
Der Exponentialansatz
war ziemlich schnell Schluss, da sich der Term
nach Einsetzen der Ableitungen nicht herauswerfen lässt. Dürfte eh falsch sein?
Dann habe ich den Weg über Trennung der Variablen / Variation der Konstanten probiert.
mit
ergibt sich
Hier beginnen bereits meine Probleme mit der Umstellung.
Wie vereinfache ich das weiter? Der Umgang mit den Differentialoperatoren verwirrt mich immer wieder.
Oder ist sowieso der Ansatz falsch?
Ansatz 2 - Energieansatz
Und da hört es auch schon wieder auf. Welche Randbedingung habe ich noch übersehen?
Ansatz 3 - a = a(v)
Diesen Ansatz habe ich in einem Buch für technische Mechanik aufgeschnappt.
mit
und
und umgestellt aus der Bewegungsgleichung
Daraus ergibt sich
sowie
Die Integrationsgrenzen sind
und
. Hier tue ich mich schwer, das Integral zu bilden. Ist mir fast ein bisschen peinlich. Fast. :-D
Danke im Voraus!