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[quote="JumpingJoke"]Hallo, ich habe in der Literatur folgendes gefunden. [latex]\text{Nun betrachten wir noch die Ortseigenfunktionen}\\\psi_{\xi}(x)=\delta(x-\xi)\\[/latex] [latex]\text{die offensichtlich}[/latex] [latex]x \psi_{\xi}(x)=\xi \psi_{\xi}(x)[/latex] [latex]\text{erfüllen. $\psi_{\xi}(x)$ ist scharf im Ort $\xi$ lokalisiert. Auch dies sind Eigenfunktionen mit kontinuierlichem Spektrum; }[/latex] [latex]\text{sie erfüllen folgende Orthogonalitäts- und Vollständigkeitsrelationen:}[/latex] [latex]\left(\psi_{\xi}, \psi_{\xi^{\prime}}\right)=\delta\left(\xi-\xi^{\prime}\right)[/latex] [latex]\int d \xi \psi_{\xi}(x) \psi_{\xi}\left(x^{\prime}\right)=\delta\left(x-x^{\prime}\right)[/latex] [latex]\text{Nun gilt offensichtlich}[/latex] [latex]\psi(x)=\int d \xi \psi(\xi) \psi_{\xi}(x)[/latex] Mir ist nicht ganz klar, warum die letzte Gleichung offensichtlich gilt. Sieht mir sehr nach Fourier-Transformation aus. Könnte mir einer verständlich erläutern wie ich Auf die letzte Gleichung schließe, bzw. was diese genau aussagt. Sehr verwirrend das ganze. Danke![/quote]
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TomS
Verfasst am: 07. Mai 2020 07:19
Titel: Re: Ortseigendwertgleichung und Fourier Transformation
Zunächst mal ist das eine mathematische Identität, letztlich die definierende Eigenschaft der delta-Distribution:
Der erste Term steht für die Entwicklung eines Hilbertraumvektors
nach einer verallgemeinerten, kontinuierlichen Basis
mit den Koeffizienten
bzgl. dieser Basis.
Ganz allgemein wäre dies
mit der Basis
, den Koeffizienten
und dem Hilbertraumvektor
.
Nun kannst du beliebige Basen wählen, z.B. die Ortseigenfunktionen
oder die Impulseigenfunktionen
Im zweiten Fall liefert dies gerade die Fourierdarstellung mit den Fourierkoeffizienten
.
Im ersten Fall - der Ortsdarstellung mit Ortseigenfunktionen - liegt der Spezialfall vor, dass die Koeffizienten
und der eigentliche Hilbertraumvektor
übereinstimmen.
Es handelt sich im Allgemeinen jedoch um unterschiedliche Objekte. Beispiel aus der linearen Algebra:
Die Koeffizienten
sind etwas anderes als der Vektor
.
JumpingJoke
Verfasst am: 07. Mai 2020 04:23
Titel: Ortseigenwertgleichung und Fourier-Transformation
Hallo,
ich habe in der Literatur folgendes gefunden.
Mir ist nicht ganz klar, warum die letzte Gleichung offensichtlich gilt. Sieht mir sehr nach Fourier-Transformation aus.
Könnte mir einer verständlich erläutern wie ich Auf die letzte Gleichung schließe, bzw. was diese genau aussagt. Sehr verwirrend das ganze.
Danke!