Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Quantenphysik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="index_razor"][quote="Corbi"]Ich verstehe nicht ganz wie man die Eigenzustände des Ortsoperators [latex] \vec{q} [/latex] findet. Im Ortsraum ist der Operator ja einfach durch die Multiplikation mit den Ortskoordinaten gegeben aber die Eigenwertgleichung wird dann ja von jedem beliebigen Vektor erfüllt [latex] \vec{q} \left| q \right> = q \left| q \right> [/latex] [/quote] Das ist keine Eigenwertgleichung für normale Hilbertraumvektoren. In der Ortsdarstellung ist, wie du bereits sagst, der Ortsoperator durch die Multiplikation mit x gegeben [latex](X\psi)(x) = x\psi(x)[/latex] Die Eigenwertgleichung für diesen Operator würde nun lauten [latex]x\psi(x) = \lambda\psi(x)[/latex] mit konstantem [latex]\lambda[/latex]. Es ist leicht zu sehen, daß diese Gleichung keine nichttriviale Lösung in [latex]L^2[/latex] haben kann. Der Operator X hat also überhaupt keine Eigenwerte. Er besitzt aber ein kontinuierliches Spektrum. Das ist definiert als die Menge der Zahlen [latex]\lambda[/latex], für die [latex]X - \lambda[/latex] nicht surjektiv ist, aber dichtes Bild in [latex]L^2[/latex] besitzt. (Im Vergleich dazu sind die Eigenwerte diejenigen [latex]\lambda[/latex], für die dieser Operator nicht injektiv ist.) Es ist ebenfalls leicht zu sehen, daß [latex](X-\lambda)\psi(x) = g(x)[/latex] nicht für jedes g(x) eine Lösung haben kann. Also hat X ein rein kontinuierliches Spektrum und keine Eigenzustände existieren im Hilbertraum. Wenn du von "Ortseigenzuständen" hörst, sind immer sogenannte "uneigentliche" oder "verallgemeinerte" Zustände gemeint. Diese stammen nicht aus dem Hilbertraum, sondern aus dem Dualraum eines dichten Teilraums des Hilbertraums, z.B. aus dem Dualraum des Definitionsbereichs von X. Man kann sich nun fragen, welche dieser verallgemeinerten Zustände [latex]\xi[/latex] die Gleichung [latex]\xi(X\psi) = \lambda \xi(\psi)[/latex] erfüllen. Diese Gleichung kann durchaus auch für den Ortsoperator nichttriviale Lösungen haben. In diesem Sinne ist der Raum der verallgemeinerten Zustände also größer als der Hilbertraum. Offensichtlich gilt ja nun [latex]x\delta(x-\lambda) = \lambda\delta(x- \lambda)[/latex], d.h. für den Ortsoperator ist [latex]\delta_\lambda = \delta(\cdot - \lambda)[/latex] genau der Verallgemeinerte Eigenzustand zum (verallgemeinerten) Eigenwert [latex]\lambda[/latex]. Denn für jeden Zustand [latex]\psi[/latex] gilt [latex]\delta_{\lambda}(X\psi) = \int \delta (x -\lambda) x \psi(x) = \lambda \psi(\lambda) = \lambda \delta_\lambda(\psi)[/latex]. Also ist [latex]\delta_\lambda[/latex] genau der verallgemeinerte Eigenzustand, den du suchst.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
TomS
Verfasst am: 16. Apr 2020 22:46
Titel:
In der Ortsdarstellung ist
korrekt für alle Wellenfunktionen
und damit auch als Operatorgleichung
Ich habe jedoch immer die abstrakte Dirac-Notation verwendet, und da ist
als Operatorgleichung falsch.
index_razor
Verfasst am: 16. Apr 2020 21:19
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Also nochmal mit dem einen Operator q und allen reellen Zahlen x:
wenn
durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, [...]
Das ist doch eigentlich eine übliche Definition des Ortsoperators...
Zitat:
[...] dann ist doch
Jetzt klar, warum das falsch ist?
kann nicht für alle x und genau einen Operator q richtig sein.
Behauptest du hier aus der Definition des Ortsoperators folgt etwas falsches? Das hieße ja dann, der Operator q existierte überhaupt nicht.
Was genau ist denn eigentlich falsch?
ist natürlich eine saloppe Schreibweise für
...
TomS
Verfasst am: 16. Apr 2020 20:50
Titel:
Corbi hat Folgendes geschrieben:
was mein Problem ist, wenn
durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, dann ist doch
und die Eigenwertgleichung ist für beliebige Vektoren erfüllt.
Erst hab ich deine Notation kritisiert, jetzt habe ich selbst den gleichen Bock geschossen.
Also nochmal mit dem einen Operator q und allen reellen Zahlen x:
wenn
durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, dann ist doch
Jetzt klar, warum das falsch ist?
kann nicht für alle x und genau einen Operator q richtig sein.
TomS
Verfasst am: 16. Apr 2020 20:41
Titel:
Ein beliebiger Vektor ist
Der Ortsoperator wirkt gemäß
Es liegt kein Eigenvektor vor.
index_razor
Verfasst am: 16. Apr 2020 18:42
Titel: Re: Wie findet man die Eigenzustände des Ortsoperators ?
Corbi hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe nicht ganz wie man die Eigenzustände des Ortsoperators
findet.
Im Ortsraum ist der Operator ja einfach durch die Multiplikation mit den Ortskoordinaten gegeben aber die Eigenwertgleichung wird dann ja von jedem beliebigen Vektor erfüllt
Das ist keine Eigenwertgleichung für normale Hilbertraumvektoren. In der Ortsdarstellung ist, wie du bereits sagst, der Ortsoperator durch die Multiplikation mit x gegeben
Die Eigenwertgleichung für diesen Operator würde nun lauten
mit konstantem
. Es ist leicht zu sehen, daß diese Gleichung keine nichttriviale Lösung in
haben kann. Der Operator X hat also überhaupt keine Eigenwerte.
Er besitzt aber ein kontinuierliches Spektrum. Das ist definiert als die Menge der Zahlen
, für die
nicht surjektiv ist, aber dichtes Bild in
besitzt. (Im Vergleich dazu sind die Eigenwerte diejenigen
, für die dieser Operator nicht injektiv ist.) Es ist ebenfalls leicht zu sehen, daß
nicht für jedes g(x) eine Lösung haben kann. Also hat X ein rein kontinuierliches Spektrum und keine Eigenzustände existieren im Hilbertraum.
Wenn du von "Ortseigenzuständen" hörst, sind immer sogenannte "uneigentliche" oder "verallgemeinerte" Zustände gemeint. Diese stammen nicht aus dem Hilbertraum, sondern aus dem Dualraum eines dichten Teilraums des Hilbertraums, z.B. aus dem Dualraum des Definitionsbereichs von X. Man kann sich nun fragen, welche dieser verallgemeinerten Zustände
die Gleichung
erfüllen. Diese Gleichung kann durchaus auch für den Ortsoperator nichttriviale Lösungen haben. In diesem Sinne ist der Raum der verallgemeinerten Zustände also größer als der Hilbertraum. Offensichtlich gilt ja nun
,
d.h. für den Ortsoperator ist
genau der Verallgemeinerte Eigenzustand zum (verallgemeinerten) Eigenwert
. Denn für jeden Zustand
gilt
.
Also ist
genau der verallgemeinerte Eigenzustand, den du suchst.
Corbi
Verfasst am: 16. Apr 2020 18:32
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ja, so ist das. Das |x> hat aber praktisch keine andere Eigenschaft außer
was mein Problem ist, wenn
durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, dann ist doch
und die Eigenwertgleichung ist für beliebige Vektoren erfüllt.
Zitat:
Für welchen Zustand |psi> möchtest du denn die Wahrscheinlichkeit berechnen?
Es gibt keine konkrete Aufgabenstellung. Ich will gerade nur ein paar Unklarheiten beseitigen.
TomS
Verfasst am: 16. Apr 2020 18:16
Titel:
Ja, so ist das. Das |x> hat aber praktisch keine andere Eigenschaft außer
Es handelt sich einfach um eine abstrakte Definition eines Einheitsvektors in einer kontinuierlichen Basis. Darin steckt keine echte physikalische Bedeutung.
Diese ist im Zustand |psi> bzw. der Wellenfunktion kodiert. Und mit letzterer kannst du konkret rechnen.
Für welchen Zustand |psi> möchtest du denn die Wahrscheinlichkeit berechnen?
Corbi
Verfasst am: 16. Apr 2020 17:42
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Das ist auf einmal eine ganz andere Frage und hat nur am Rande etwas mit den Eigenzuständen zu tun.
Für die Wellenfunktion gilt
Für die Wahrscheinlichkeits
dichte
am Ort x gilt
Und wie finde ich jetzt das:
? Ich dachte das sei gerade der Eigenzustand des Ortsoperators ? Genau das war meine ursprüngliche Frage
TomS
Verfasst am: 16. Apr 2020 17:35
Titel:
Das ist auf einmal eine ganz andere Frage und hat nur am Rande etwas mit den Eigenzuständen zu tun.
Für die Wellenfunktion gilt
Für die Wahrscheinlichkeits
dichte
am Ort x gilt
Für die
Wahrscheinlichkeit
in einem Bereich
gilt
Das funktioniert
nicht
für Ortseigenzustände!
Corbi
Verfasst am: 16. Apr 2020 17:29
Titel:
was mich interessiert ist: wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen, das sich im Zustand
befindet , am Ort q zu messen.
TomS
Verfasst am: 16. Apr 2020 14:59
Titel:
Zunächst mal hast du ein Notationsproblem - zu viele q‘s. q sei der Operator; a sei eine beliebige reelle Zahl. Die Eigenwertgleichung lautet
Dich interessiert nicht der abstrakte Zustand, denn der ist rein abstrakt erstmal einfach
|a>
.
Was dich interessiert ist wohl die Eigenfunktion in der Variablen x zum Eigenwert a also
Richtig?
Corbi
Verfasst am: 16. Apr 2020 13:41
Titel: Wie findet man die Eigenzustände des Ortsoperators?
Ich verstehe nicht ganz wie man die Eigenzustände des Ortsoperators
findet.
Im Ortsraum ist der Operator ja einfach durch die Multiplikation mit den Ortskoordinaten gegeben aber die Eigenwertgleichung wird dann ja von jedem beliebigen Vektor erfüllt
(ich habe den Ortsoperator hier mit dem Pfeil drüber geschrieben)
die selbe Gleichung wird ja auch vom Vektor
erfüllt.
Also wie finde ich den jetzt den richtigen Ortszustandsvektor ?