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So gehts:
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[quote="hansguckindieluft"]Hallo, bist Du sicher, dass Deine Formel stimmt? Wenn wir zum Zeitpunkt x=0 mit nur einem Kranken starten, dann gibt es zum Zeitpunkt x=1 ja 3 Kranke, da der eine Kranke zwei Weitere angesteckt hat. Geben wir X=1 in Deine Formel ein, kommt aber N=2*2^(1)+1 = 5 heraus. Ich würde es so betrachten: Nach je einer Zeiteinheit x verdreifacht sich die Zahl der Erkrankten, denn jeder Kranke steckt zwei Weitere an, und die bereits Erkrankten werden nicht wieder gesund. Die korrekte Formel würde also lauten: [latex]N(x)=N_{0} \cdot 3^{x}[/latex] Mit [latex]N_{0}[/latex] = Zahl der Erkrankten zum Zeitpunkt x=0 Wenn jeder Kranke nach der Zeiteinheit x 3 weitere Personen ansteckt, dann eben: [latex]N(x)=N_{0} \cdot 4^{x}[/latex][/quote]
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TomS
Verfasst am: 11. März 2020 08:03
Titel:
Für eine beliebige Basis r, d.h. bei Ansteckung von r weiteren Personen, gilt
Das ist gerade die k-te Partialsumme der geometrischen Reihe zur Basis r.
Man multipliziert beide Seiten mit r
und subtrahiert die ursprüngliche Partialsumme
wobei alle Terme bis auf zwei wegfallen.
Daraus folgt
Die gilt für beliebige auch nicht ganzzahlige r.
TomS
Verfasst am: 11. März 2020 07:26
Titel:
Damit [die zu k-1 Neuinfizierten stecken zu k jeweils zwei neue an, die zuvor Erkrankten bleiben krank, sind jedoch nicht mehr ansteckend] gilt zunächst für die Anzahl der im k-ten Schritt
neu
Infizierten
Die Anzahl der
insgesamt
Infizierten folgt als Summe
Für die neu Infizierten gilt
k: n
0: 1
1: 2
2: 4
3: 8
...
Für die insgesamt Infizierten gilt
k: N
0: 1
1: 3
2: 7
3: 8
...
Dreckidei
Verfasst am: 10. März 2020 22:42
Titel:
Ach, so meint ihr das. Das ist ja recht einfach zu rechnen.
Ich gehe aber davon aus, dass die Leute welche erkrankt sind und einmal die anderen anstecken durften, sofort in Quarantäne. In anderen Worten, welche Folge beschreibt diese Zahlen? Oder geht das nur mit ner rekursiven Vorschrift...?
N x
1 0
4 1
13 2
40 3
121 4
363 5
1092 6
TomS
Verfasst am: 10. März 2020 22:10
Titel: Re: Exponentielles Wachstum "mit Vorgängern"
Der Unterschied besteht in diesem Detail:
Dreckidei hat Folgendes geschrieben:
Ein Kranker steckt nach einer Zeiteinheit x immer genau 2 Weitere an.
Diese stecken
wieder nach einer Zeiteinheit x 2 Weitere an und so weiter. Ein Kranker wird nicht mehr gesund.
hansguckindieluft hat Folgendes geschrieben:
... denn
jeder Kranke steckt
zwei Weitere an, und die bereits Erkrankten werden nicht wieder gesund.
Im ersten Fall stecken nur die zu x
Neuerkrankten
zu x+1 jeweils zwei neue an, die zuvor Erkrankten bleiben krank, sind jedoch
nicht mehr ansteckend
.
Im zweiten Fall stecken
alle
bis einschließlich x
Erkrankten
zu x+1 jeweils zwei neue an, alle Erkrankten bleiben krank und
bleiben ansteckend
.
Dreckidei
Verfasst am: 10. März 2020 22:01
Titel:
Hallo,
sry, habe mich verschrieben. Es soll wie folgt heißen:
N = 2 * 2^x - 1
Deine Formel ist leider falsch. Hier mal die Werte die raus kommen müssen:
Für Übertragungsfaktor 2: (Hier stimmt meine Formel)
N x
1 0
3 1
7 2
15 3
31 4
Für Übertragungsfaktor 3:
N x
1 0
4 1
13 2
40 3
121 4
hansguckindieluft
Verfasst am: 10. März 2020 08:46
Titel:
Hallo,
bist Du sicher, dass Deine Formel stimmt?
Wenn wir zum Zeitpunkt x=0 mit nur einem Kranken starten, dann gibt es zum Zeitpunkt x=1 ja 3 Kranke, da der eine Kranke zwei Weitere angesteckt hat. Geben wir X=1 in Deine Formel ein, kommt aber N=2*2^(1)+1 = 5 heraus.
Ich würde es so betrachten: Nach je einer Zeiteinheit x verdreifacht sich die Zahl der Erkrankten, denn jeder Kranke steckt zwei Weitere an, und die bereits Erkrankten werden nicht wieder gesund.
Die korrekte Formel würde also lauten:
Mit
= Zahl der Erkrankten zum Zeitpunkt x=0
Wenn jeder Kranke nach der Zeiteinheit x 3 weitere Personen ansteckt, dann eben:
Dreckidei
Verfasst am: 09. März 2020 23:13
Titel: Exponentielles Wachstum "mit Vorgängern"
Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
ich komme gerade nicht auf die Lösung folgendes Problems.
Annahme: Ein Kranker steckt nach einer Zeiteinheit x immer genau 2 Weitere an. Diese stecken, wieder nach einer Zeiteinheit x 2 Weitere an und so weiter. Ein Kranker wird nicht mehr gesund. So kommen in jedem Schritt immer 2^x neue Kranke dazu. Die gesamt Anzahl wird sich aber nach N=2*2^(x)+1 berechnen.
Da bin ich noch von selbst drauf gekommen.
Allerdings wenn ich annehme, dass jeder Kranke 3 weitere ansteckt komme ich auf keine Formel die das erklärt...
Meine Ideen:
Das ganze kann man sich auch als Baumdiagramm vorstellen bei der die Anzahl der "Knoten" gesucht wird.
Wie lautet die allgemeine Formel für beliebige "Ansteckraten"?