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[quote="index_razor"][quote="Corbi"]Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz [Latex]v=H_0*D[/Latex] das Alter des Universums [Latex] t_0=1/H_0 [/Latex] ab ? Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung: [Latex]\frac{dD}{dt}=H_0 * D(t) [/Latex] die gelöst wird durch: [Latex]D(t)=c_1 * \exp[H_0t] [/Latex] Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird[/quote] Der Hubble-Parameter ist keine Konstante, sondern hängt von der Zeit ab. Folglich handelt es sich beim Hubble-Gesetz auch nicht um eine lineare Differentialgleichung. Die Hubble-Zeit ergibt sich strenggenommen nur unter der Annahme, daß D linear mit der Zeit wächst, [latex]D \propto t[/latex]. Da das tatsächliche Wachstum aber nicht linear ist, ergibt 1/H allerdings auch nicht das Alter des Universums. Früher war die Expansion schneller, das Universum expandierte also weniger lange bis zur heutigen Größe. Die Hubble-Zeit ist also nur eine Obergrenze. Die tatsächliche Zeitabhängigkeit von [latex]D[/latex], oder äquivalent des Skalenfaktors [latex]a[/latex], ergibt sich aus der Friedman-Gleichung, die im flachen Universum die Form [latex]\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2\propto \rho[/latex] hat, zusammen mit der Bilanzgleichung für Energie und Impuls (zusammen mit der ersten auch oft als Friedman-Gleichung bezeichnet) [latex]\dd (\rho a^3) = -p\dd a^3,[/latex] und zuletzt der jeweiligen Zustandsgleichung für die dominierende Materieform. Für [b]kalte Materie[/b] ist [latex]p = 0[/latex] also (in Friedman-Gleichung einsetzen und integrieren) [latex]\rho = a^{-3}[/latex], also [latex]a\propto t^{2/3}[/latex]. In diesem Fall ergäbe sich also [latex]H=\frac{2}{3 t},[/latex] d.h. ein ähnlich einfacher Zusammenhang, aber mit einem geringeren Alter des Universums. Für [b]heiße Materie oder Strahlung[/b] gilt [latex]p = \rho/3[/latex] und folglich [latex]\rho \propto a^{-4}[/latex]. Damit folgt [latex]a\propto \sqrt{t}[/latex] und [latex]H = \frac{1}{2t}[/latex] Das bedeutet, daß das tatsächliche Alter des Universums geringer ist, als die Hubble-Zeit, sofern nur diese beiden Materieformen einen wesentlichen Beitrag zur gesamten Eneriedichte leisten. Schließlich gibt es noch [b]Vakuumenergie[/b] mit der Zustandsgleichung [latex]p=-\rho[/latex] oder [latex]\rho = \text{const.}[/latex]. Nur in diesem Fall gilt [latex]\dot a \propto \sqrt{\rho} a[/latex] und somit ist die Expansion exponentiell, mit konstantem Hubble-Parameter [latex]H\propto\sqrt{\rho}[/latex].[/quote]
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Nachricht
index_razor
Verfasst am: 01. März 2020 09:13
Titel: Re: Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit
Corbi hat Folgendes geschrieben:
Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz
das Alter des Universums
ab ?
Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung:
die gelöst wird durch:
Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird
Der Hubble-Parameter ist keine Konstante, sondern hängt von der Zeit ab. Folglich handelt es sich beim Hubble-Gesetz auch nicht um eine lineare Differentialgleichung.
Die Hubble-Zeit ergibt sich strenggenommen nur unter der Annahme, daß D linear mit der Zeit wächst,
. Da das tatsächliche Wachstum aber nicht linear ist, ergibt 1/H allerdings auch nicht das Alter des Universums. Früher war die Expansion schneller, das Universum expandierte also weniger lange bis zur heutigen Größe. Die Hubble-Zeit ist also nur eine Obergrenze.
Die tatsächliche Zeitabhängigkeit von
, oder äquivalent des Skalenfaktors
, ergibt sich aus der Friedman-Gleichung, die im flachen Universum die Form
hat, zusammen mit der Bilanzgleichung für Energie und Impuls (zusammen mit der ersten auch oft als Friedman-Gleichung bezeichnet)
und zuletzt der jeweiligen Zustandsgleichung für die dominierende Materieform.
Für
kalte Materie
ist
also (in Friedman-Gleichung einsetzen und integrieren)
, also
. In diesem Fall ergäbe sich also
d.h. ein ähnlich einfacher Zusammenhang, aber mit einem geringeren Alter des Universums.
Für
heiße Materie oder Strahlung
gilt
und folglich
. Damit folgt
und
Das bedeutet, daß das tatsächliche Alter des Universums geringer ist, als die Hubble-Zeit, sofern nur diese beiden Materieformen einen wesentlichen Beitrag zur gesamten Eneriedichte leisten.
Schließlich gibt es noch
Vakuumenergie
mit der Zustandsgleichung
oder
. Nur in diesem Fall gilt
und somit ist die Expansion exponentiell, mit konstantem Hubble-Parameter
.
Corbi
Verfasst am: 27. Feb 2020 19:04
Titel: Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit
Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz
das Alter des Universums
ab ?
Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung:
die gelöst wird durch:
Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird