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[quote="Corbi"]Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz [Latex]v=H_0*D[/Latex] das Alter des Universums [Latex] t_0=1/H_0 [/Latex] ab ? Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung: [Latex]\frac{dD}{dt}=H_0 * D(t) [/Latex] die gelöst wird durch: [Latex]D(t)=c_1 * \exp[H_0t] [/Latex] Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird[/quote]
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Nachricht
index_razor
Verfasst am: 01. März 2020 09:13
Titel: Re: Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit
Corbi hat Folgendes geschrieben:
Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz
das Alter des Universums
ab ?
Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung:
die gelöst wird durch:
Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird
Der Hubble-Parameter ist keine Konstante, sondern hängt von der Zeit ab. Folglich handelt es sich beim Hubble-Gesetz auch nicht um eine lineare Differentialgleichung.
Die Hubble-Zeit ergibt sich strenggenommen nur unter der Annahme, daß D linear mit der Zeit wächst,
. Da das tatsächliche Wachstum aber nicht linear ist, ergibt 1/H allerdings auch nicht das Alter des Universums. Früher war die Expansion schneller, das Universum expandierte also weniger lange bis zur heutigen Größe. Die Hubble-Zeit ist also nur eine Obergrenze.
Die tatsächliche Zeitabhängigkeit von
, oder äquivalent des Skalenfaktors
, ergibt sich aus der Friedman-Gleichung, die im flachen Universum die Form
hat, zusammen mit der Bilanzgleichung für Energie und Impuls (zusammen mit der ersten auch oft als Friedman-Gleichung bezeichnet)
und zuletzt der jeweiligen Zustandsgleichung für die dominierende Materieform.
Für
kalte Materie
ist
also (in Friedman-Gleichung einsetzen und integrieren)
, also
. In diesem Fall ergäbe sich also
d.h. ein ähnlich einfacher Zusammenhang, aber mit einem geringeren Alter des Universums.
Für
heiße Materie oder Strahlung
gilt
und folglich
. Damit folgt
und
Das bedeutet, daß das tatsächliche Alter des Universums geringer ist, als die Hubble-Zeit, sofern nur diese beiden Materieformen einen wesentlichen Beitrag zur gesamten Eneriedichte leisten.
Schließlich gibt es noch
Vakuumenergie
mit der Zustandsgleichung
oder
. Nur in diesem Fall gilt
und somit ist die Expansion exponentiell, mit konstantem Hubble-Parameter
.
Corbi
Verfasst am: 27. Feb 2020 19:04
Titel: Hubble-Gesetz und Hubble-Zeit
Wie leitet man aus dem Hubble-Gesetz
das Alter des Universums
ab ?
Es handelt sich dabei ja eigentlich um eine lineare DGL erster Ordnung:
die gelöst wird durch:
Daraus lässt sich aber kein Alter bestimmen da D niemals 0 wird