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[quote="Myon"]Du brauchst doch nur das Integral [latex]\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos^4\theta}{a^2+R^2}R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd \varphi[/latex] auszurechnen. Der Integrand ist der Anteil des Vektorfelds, der in radialer Richtung zeigt. Das Integral kannst Du mit einer Substitution lösen.[/quote]
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Wolvetooth
Verfasst am: 03. Jun 2019 20:35
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Es wäre alles richtig bis auf die letzte Zeile: bei der Integration über den Winkel
ergibt sich doch ein Faktor
, der hier fehlt.
Ups, das habe ich nicht gesehen, danke !
Myon
Verfasst am: 03. Jun 2019 17:25
Titel:
Es wäre alles richtig bis auf die letzte Zeile: bei der Integration über den Winkel
ergibt sich doch ein Faktor
, der hier fehlt.
Wolvetooth
Verfasst am: 02. Jun 2019 16:43
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Du brauchst doch nur das Integral
auszurechnen. Der Integrand ist der Anteil des Vektorfelds, der in radialer Richtung zeigt. Das Integral kannst Du mit einer Substitution lösen.
Wie finden Sie die Lösung?
(Siehe Abbildung)
Wolvetooth
Verfasst am: 02. Jun 2019 14:47
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Du brauchst doch nur das Integral
auszurechnen. Der Integrand ist der Anteil des Vektorfelds, der in radialer Richtung zeigt. Das Integral kannst Du mit einer Substitution lösen.
Alles klar! vielen Dank!
Myon
Verfasst am: 01. Jun 2019 17:06
Titel:
Du brauchst doch nur das Integral
auszurechnen. Der Integrand ist der Anteil des Vektorfelds, der in radialer Richtung zeigt. Das Integral kannst Du mit einer Substitution lösen.
Wolvetooth
Verfasst am: 31. Mai 2019 17:52
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Die 2. Zeile ist nicht richtig, denn wegen
wird nur über den ersten Summanden integriert. Die beiden anderen tragen nicht zum Fluss bei, wie auch anschaulich klar sein sollte (die Feldlinien dieser Komponenten sind tangential zur Kugeloberfläche).
Das Vektorfeld muss bei r=R ausgewertet werden, weiter oben hätte ich vielleicht besser
im Integral schreiben sollen.
Leider kann ich das nicht verstehen
ich denke, dass ich einfach das Thema gut kann
Vielen Dank aber trotzdem für die Mühe
Myon
Verfasst am: 31. Mai 2019 16:10
Titel:
Die 2. Zeile ist nicht richtig, denn wegen
wird nur über den ersten Summanden integriert. Die beiden anderen tragen nicht zum Fluss bei, wie auch anschaulich klar sein sollte (die Feldlinien dieser Komponenten sind tangential zur Kugeloberfläche).
Das Vektorfeld muss bei r=R ausgewertet werden, weiter oben hätte ich vielleicht besser
im Integral schreiben sollen.
Wolvetooth
Verfasst am: 31. Mai 2019 13:31
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Um einen Anfang zu machen:
Nun kannst Du ausnützen, dass gilt
und
.
Ok! dann wäre das Integral:
(Siehe Abbildung)
Jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß ob das große R genau das gleiche ist wie das kleine r
(Der grün umrandete Bereich beinhaltet, was ich zuerst integrieren muss)
Myon
Verfasst am: 30. Mai 2019 12:25
Titel:
Um einen Anfang zu machen:
Nun kannst Du ausnützen, dass gilt
und
.
Wolvetooth
Verfasst am: 30. Mai 2019 10:41
Titel:
Hallo, vielen Dank noch einmal für die Hilfe
Myon hat Folgendes geschrieben:
Ich glaube, Du denkst wirklich viel zu weit. Aus der Definition eines Flusses folgt ja, dass nur die Vektorkomponente senkrecht zur betrachteten Fläche, also parallel zum Flächennormalenvektor, relevant ist. Die senkrecht zum Normalenvektor stehenden Komponenten tragen nicht zum Fluss bei.
Ok, das kann ich verstehen, das macht Sinn.
Myon hat Folgendes geschrieben:
Welche der drei Summanden von
sind also relevant (die Einheitsvektoren
bilden ein Orthonormalsystem, stehen also senkrecht aufeinander)?
Ich glaube schon, weil wir so das Kreuzprodukt bilden können.
Myon hat Folgendes geschrieben:
Fürs Aufschreiben: der Normaleneinheitsvektor ist hier einfach
. Und dann brauchst Du nur noch die relevante Komponente über die Kugeloberfläche zu integrieren.
Tja...wie kann ich das machen?
Könnten Sie es bitte auf mein Beispiel bezogen matematisch schreiben?
Ich habe gemerkt, dass ich es besser verstehe, wenn ich sehe, wie die Formel aussieht
Myon
Verfasst am: 29. Mai 2019 22:26
Titel:
Ich glaube, Du denkst wirklich viel zu weit. Aus der Definition eines Flusses folgt ja, dass nur die Vektorkomponente senkrecht zur betrachteten Fläche, also parallel zum Flächennormalenvektor, relevant ist. Die senkrecht zum Normalenvektor stehenden Komponenten tragen nicht zum Fluss bei. Welche der drei Summanden von
sind also relevant (die Einheitsvektoren
bilden ein Orthonormalsystem, stehen also senkrecht aufeinander)?
Fürs Aufschreiben: der Normaleneinheitsvektor ist hier einfach
. Und dann brauchst Du nur noch die relevante Komponente über die Kugeloberfläche zu integrieren.
Wolvetooth
Verfasst am: 29. Mai 2019 20:06
Titel: Fluss des Vektorfelds
Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius R. (Siehe Abbildung)
Meine Ideen:
Wir könnten das lösen, indem wir sagen, dass der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Oberfläche:
ist (Leider kann ich nicht ein S statt a und b mit Latex schreiben)
Dafür bräuchten wir eine Parametrisierung, die (ich glaube) in Kugelkoordinaten ist (weil das Vektorfeld in Kugelkoordinaten gegeben ist)
Und einen Normalenvektor, der senkrecht zur Kugeloberfläche steht.
Der Normalenvektor kann mit den partiellen Ableitungen der Parametrisierung und mit dem Kreuzprodukt berechnet werden.
Dann könnten wir weiter den Fluss berechnen, indem wir sagen, dass der Fluss des Vektorfeldes:
ist (Leider kann ich nicht ein S statt a und b mit Latex schreiben)
Aber dann wäre meine Frage:
Wie kann ich überhaupt diese Kraft parametrisieren?
Es sieht alles so schwer aus aber ich denke nicht, dass es eigentlich so schwer ist. Es wäre ganz cool, wenn jemand mir vielleicht helfen könnte