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[quote="Huggy"][quote="gumgumpower"][b]Meine Frage:[/b] Ich weiß aud irgendwie nicht, wie ich den ganzen Schmarn lesen muss. Es sei ein Funktional der Form [latex] F[f]=\int_{x_l}^{x_{u}} \! G(x,f(x),f(x)^{,},f(x)^{,,} \, \dd dx [/latex][/quote] Es ist gar nicht gut, wenn man eine Sache, mit der man sich beschäftigen soll, als Schmarrn bezeichnet. Was ist dir denn an diesem Ausdruck nicht klar? Man hat eine Funktion [latex]G[/latex], die von [latex]x[/latex] und Funktionen [latex]f(x)[/latex] und deren ersten beiden Ableitungen abhängt. Wenn man eine konkrete Funktion [latex]f[/latex], die die gegebenen Randbdingungen erfüllt, einsetzt und das Integral ausführt, erhält man ein Ergebnis (eine Zahl) [latex]F[/latex]. [latex]F[/latex] hängt offensichtlich von der gewählten Funktion [latex]f[/latex] ab. Daher steht auf der linken Seite [latex]F[f][/latex]. Gesucht ist nun diejenige Funktion [latex]f[/latex] aus dem zulässigen Funktionenbereich, die [latex]F[f] [/latex] maximiert oder minimiert. Diese Lösungsfunktion ist bei euch [latex]\bar f[/latex] genannt. Um die Euler-Lagrange-Gleichungen herzuleiten, kann man die Funktionen [latex]f [/latex] schreiben als [latex]f=\bar f + \epsilon g[/latex] oder ausführlicher [latex]f(x)=\bar f(x) + \epsilon g(x)[/latex] Damit [latex]f[/latex] die Randbedingungen erfüllt, müssen die Funktionen [latex]g[/latex] und deren erste Ableitung an den Rändern Null sein. Ansonsten sind sie beliebig aus dem zulässigen Funktionenbereich. Mit dieser Darstellung wird [latex]F[/latex] eine Funktion des Parameters [latex]\epsilon[/latex]. Da [latex]\bar f[/latex] die Lösungsfunktion sein soll, hat [latex]F[/latex] sein Maximum oder Minimum bei [latex]\epsilon =0[/latex]. [latex]F[\epsilon][/latex] ist eine ganz gewöhnliche Funktion und ihre Extremstellen können durch Nullsetzen der Ableitung gefunden werden. [latex]\frac {d F[\epsilon ]}{d \epsilon}=0[/latex] Die Ableitung kann in das Integral gezogen werden und man erhält für den Integranden nach der Kettenregel [latex]\frac {dG}{d \epsilon}= \frac {\partial G}{\partial f} \frac {\partial f}{\partial \epsilon}+\frac {\partial G}{\partial f'} \frac {\partial f'}{\partial \epsilon}+\frac {\partial G}{\partial f''} \frac {\partial f''}{\partial \epsilon}[/latex] mit [latex]\frac {\partial f}{\partial \epsilon}=g \quad \frac {\partial f'}{\partial \epsilon}=g' \quad \frac {\partial f''}{\partial \epsilon}=g''[/latex] Im nächsten Schritt integriert man diejenigen Summanden im Integral, die [latex]g'[/latex] bzw. [latex]g''[/latex] enthalten ein- bzw. zweimal partiell. Dabei fallen die ausintegrierten Terme wegen der Randbedingung für [latex]g[/latex] weg. Man erhält schließlich ein Ergebnis der Form [latex]\frac {d F[\epsilon ]}{\partial \epsilon}=0 =\int_{x_l}^{x_u}(...)g dx[/latex] Da das Integral für beliebige Funktionen [latex]g[/latex] aus dem zulässigen Funktionenbereich Null werden soll. muss der Term [latex](...)[/latex] Null werden. Das sind die gesuchten Euler-Lagrange-Gleichungen.[/quote]
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Nachricht
Huggy
Verfasst am: 26. Mai 2019 12:21
Titel: Re: Euler-Lagrange-Gleichung , Extremalisierung eines Funkti
gumgumpower hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Ich weiß aud irgendwie nicht, wie ich den ganzen Schmarn lesen muss.
Es sei ein Funktional der Form
Es ist gar nicht gut, wenn man eine Sache, mit der man sich beschäftigen soll, als Schmarrn bezeichnet. Was ist dir denn an diesem Ausdruck nicht klar? Man hat eine Funktion
, die von
und Funktionen
und deren ersten beiden Ableitungen abhängt. Wenn man eine konkrete Funktion
, die die gegebenen Randbdingungen erfüllt, einsetzt und das Integral ausführt, erhält man ein Ergebnis (eine Zahl)
.
hängt offensichtlich von der gewählten Funktion
ab. Daher steht auf der linken Seite
. Gesucht ist nun diejenige Funktion
aus dem zulässigen Funktionenbereich, die
maximiert oder minimiert. Diese Lösungsfunktion ist bei euch
genannt.
Um die Euler-Lagrange-Gleichungen herzuleiten, kann man die Funktionen
schreiben als
oder ausführlicher
Damit
die Randbedingungen erfüllt, müssen die Funktionen
und deren erste Ableitung an den Rändern Null sein. Ansonsten sind sie beliebig aus dem zulässigen Funktionenbereich. Mit dieser Darstellung wird
eine Funktion des Parameters
. Da
die Lösungsfunktion sein soll, hat
sein Maximum oder Minimum bei
.
ist eine ganz gewöhnliche Funktion und ihre Extremstellen können durch Nullsetzen der Ableitung gefunden werden.
Die Ableitung kann in das Integral gezogen werden und man erhält für den Integranden nach der Kettenregel
mit
Im nächsten Schritt integriert man diejenigen Summanden im Integral, die
bzw.
enthalten ein- bzw. zweimal partiell. Dabei fallen die ausintegrierten Terme wegen der Randbedingung für
weg. Man erhält schließlich ein Ergebnis der Form
Da das Integral für beliebige Funktionen
aus dem zulässigen Funktionenbereich Null werden soll. muss der Term
Null werden. Das sind die gesuchten Euler-Lagrange-Gleichungen.
gumgumpower
Verfasst am: 25. Mai 2019 15:38
Titel: Euler-Lagrange-Gleichung , Extremalisierung eines Funktional
Meine Frage:
Moin moin,
In theoretischer Physik wurde folgende Aufgabe auf dem aktullen Übungszettel gestellt und ich habe da zurzeit überhaut keinen Ansatz. Bzw. Ich weiß aud irgendwie nicht, wie ich den ganzen Schmarn lesen muss.
Es sei ein Funktional der Form
das für Funktionen f
wobei a,b,c,d Konstanen sind, definiert ist. Zeigen Sie, dass die Euler-Lagrange-Gleichung für die Extremalisierung dieses Funktionals die Gestalt
hat.
Wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz oder vielleicht sogar eine verständliche Lösung geben könnte.
Meine Ideen: