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[quote="index_razor"][quote="Huggy"] [latex]\dot x^2+ \frac 1 2 x^4=c[/latex] Die Konstante [latex]c[/latex] ergibt sich aus den Anfangsbedingungen.[/quote] Damit hast du dich einmal im Kreis gedreht. Bis auf einen Faktor 2 ist dieses c genau die Hamiltonfunktion, mit der die Aufgabe gestartet ist und in die eine der Bewegungsgleichungen [latex]\dot x = p[/latex] eingesetzt wurde. Die Erhaltung von [latex]c=2H[/latex] folgt aber direkt aus der expliziten Zeitunabhängigkeit. Die Aufgabe verlangt übrigens keine analytische Lösung der Hamiltonschen Gleichungen.[/quote]
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mrdo87
Verfasst am: 23. März 2019 14:55
Titel:
Wörtlich steht da "Das Lösen dieser Differentialgleichung und ihrer zeitlichen Parametrisierung ist sowohl analytisch
als auch numerisch sehr einfach"
Aber ja, ich habe beim Integral großen Mist gebaut...
Ok, dann begnüge ich mich doch mit der numerischen Lösung
Vielen Dank noch einmal
Huggy
Verfasst am: 23. März 2019 14:44
Titel:
mrdo87 hat Folgendes geschrieben:
Allerdings stand in der Musterlösung auch, dass eine analytische Lösung einfach ist.
Das bezweifele ich, es sei denn es ist nur die erste Integration gemeint.
Zitat:
Soweit richtig.
Zitat:
Aber das stimmt nicht. Das ist ein recht übles Integral. Mein CAS liefert da z. B. für
mrdo87
Verfasst am: 23. März 2019 14:13
Titel:
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!
Stimmt, eine analytische Lösung ist nicht zwingend verlangt. Allerdings stand in der Musterlösung auch, dass eine analytische Lösung einfach ist. Also wollte ich es mal teste. Wie man vlt merkt, habe ich auf dem Gebiet der DGLs Nachholbedarf. Also warum nicht.
Ich bin jetzt ein ganzes Stück weiter dank euch. Habe auch versucht diese DGL weiter zu lösen. Das würde ja einfach mit Separation der Variablen funktionieren. Könnt ihr da noch mal drüber schauen, ob das so passt?
An dem Punkt würde ich jetzt wohl aufhören, das Auflösen nach x scheint zu viel Arbeit, als dass es sich für mein Verständnis solcher Aufgaben lohnen würde.
index_razor
Verfasst am: 23. März 2019 09:57
Titel: Re: Bewegungsgleichung Hamilton lösen
Huggy hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Damit hast du dich einmal im Kreis gedreht. Bis auf einen Faktor 2 ist dieses c genau die Hamiltonfunktion, mit der die Aufgabe gestartet ist und in die eine der Bewegungsgleichungen
eingesetzt wurde. Die Erhaltung von
folgt aber direkt aus der expliziten Zeitunabhängigkeit.
Das Einsetzen ist aber wichtig. Sonst kommt man ja nicht weiter, es sei denn, man möchte das numerisch als DGL-System lösen.
Zitat:
Die Aufgabe verlangt übrigens keine analytische Lösung der Hamiltonschen Gleichungen.
Die numerische Lösung ist aber einfacher, wenn man nur noch eine DGL erster Ordnung hat.
Meine Bemerkung bezog sich auf das
Aufstellen
dieser Gleichung, nicht auf ihre Lösung. Das ist ganz einfach: man nimmt
und setzt
ein. Fertig. Man benötigt dafür keine Integrationstricks. (Auch wenn dieser spezielle Trick oft sehr nützlich ist.)
Huggy
Verfasst am: 23. März 2019 09:44
Titel: Re: Bewegungsgleichung Hamilton lösen
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Huggy hat Folgendes geschrieben:
Damit hast du dich einmal im Kreis gedreht. Bis auf einen Faktor 2 ist dieses c genau die Hamiltonfunktion, mit der die Aufgabe gestartet ist und in die eine der Bewegungsgleichungen
eingesetzt wurde. Die Erhaltung von
folgt aber direkt aus der expliziten Zeitunabhängigkeit.
Das Einsetzen ist aber wichtig. Sonst kommt man ja nicht weiter, es sei denn, man möchte das numerisch als DGL-System lösen.
Zitat:
Die Aufgabe verlangt übrigens keine analytische Lösung der Hamiltonschen Gleichungen.
Die numerische Lösung ist aber einfacher, wenn man nur noch eine DGL erster Ordnung hat.
index_razor
Verfasst am: 23. März 2019 09:32
Titel: Re: Bewegungsgleichung Hamilton lösen
Huggy hat Folgendes geschrieben:
Die Konstante
ergibt sich aus den Anfangsbedingungen.
Damit hast du dich einmal im Kreis gedreht. Bis auf einen Faktor 2 ist dieses c genau die Hamiltonfunktion, mit der die Aufgabe gestartet ist und in die eine der Bewegungsgleichungen
eingesetzt wurde. Die Erhaltung von
folgt aber direkt aus der expliziten Zeitunabhängigkeit.
Die Aufgabe verlangt übrigens keine analytische Lösung der Hamiltonschen Gleichungen.
Huggy
Verfasst am: 23. März 2019 09:14
Titel: Re: Bewegungsgleichung Hamilton lösen
mrdo87 hat Folgendes geschrieben:
Wie löse ich das? Theoretisch kann ich das zusammenfassen zu
, die Variablen separieren und zweimal integrieren.
So geht das nicht!
Hier hilft der gut bekannte Trick, die DGL mit
zu multiplizieren. Dann hat man
Die Konstante
ergibt sich aus den Anfangsbedingungen.
mrdo87
Verfasst am: 22. März 2019 21:12
Titel: Bewegungsgleichung Hamilton lösen
Hallo zusammen,
es geht um die Aufgabe im Anhang. Mein Problem liegt an folgender Stelle (im Prinzip Lösen eines Anfangswertproblems):
Ich weiß, es gilt
und
. Die Anfangswerte seien erst einmal allgemein
und
.
Wie löse ich das? Theoretisch kann ich das zusammenfassen zu
, die Variablen separieren und zweimal integrieren.
Bin allerdings weder sicher, ob ich das einfach so machen kann, noch wie ich da die Anfangswerte geschickt unterbringe...
Bin für jede Hilfe dankbar