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So gehts:
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[quote="Anfaenger2000"]Guten Tag, ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe: Von einer Spin-1/2 Quelle werden Teilchen mit W'keit [latex]p=\frac{1}{3}[/latex] im Zustand [latex]|z\uparrow>[/latex] und mit W'keit [latex]q=1-p[/latex] im Zustand [latex]|x\uparrow>[/latex] emittiert. Mit welcher W'keit wird bei einer Spinmessung in y-Richtung [latex]\hat{\vec{s}}_y[/latex] der Messwert [latex]+\frac{\hbar}{2}[/latex] abgelesen. Es handelt sich um ein gemischtes System. Deswegen würde ich erstmal den Dichteoperator bestimmen. Dieser war wie folgt definiert: [latex]\hat{\rho}=\sum_i p_i |\psi_i> <\psi_i|[/latex] wobei [latex]p_i[/latex] die W'keit ist, dass der Zustand [latex]|\psi_i>[/latex] im Gemisch vertreten ist. Jetzt kann man leicht nachrechnen (Eigenvektoren der Pauli-Matrix bestimmen und normieren), dass der Spin-Up in x-Richtung durch den Zustand [latex]|x\uparrow>= \frac{1}{\sqrt{2}} \binom{1}{1}[/latex] und Spin-up in z-Richtung durch [latex]|z\uparrow>= \binom{1}{0}[/latex] gegeben ist. Für den Dichteoperator (Matrix) ergibt sich [latex] \hat{\rho}= p |x\uparrow> <x\uparrow| + q |z\uparrow><z\uparrow| =\dots = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/latex] Meine Frage ist nun, wie ich mithilfe des Dichteoperators die W'keit bestimmen soll. Ist dies überhaupt möglich? In der Vorlesung habe wir immer nur Erwartungswerte mit dem Dichte Operator bestimmt. Grüße[/quote]
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Anfaenger2000
Verfasst am: 27. Jan 2019 10:39
Titel:
Danke für den Darstellungsfreien Lösungsweg!
index_razor
Verfasst am: 24. Jan 2019 22:14
Titel:
Ich denke du hast dich bei der Spurbildung verrechnet.
Instruktiver ist es übrigens bis zum Ende die variable Wahrscheinlichkeit p als Parameter durch die Rechnung zu ziehen. Außerdem besteht keine Notwendigkeit in der z-Darstellung zu rechnen. Die gesamte Aufgabe läßt sich gut mit Hilfe der Pauli-Algebra allein lösen. In einem anderen Thread habe ich gerade erklärt, daß jeder Zustand eines Spin-1/2-Systems durch Angabe eines Polarisationsvektors
definiert werden kann
Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraischen Relationen
und
Nun muß man nur noch wissen, daß reine Zustände durch die Bedingung
charakterisiert sind. (Warum?) Dann folgt auch, daß die Eigenzustände für die Spinmessung entlang einer Achsenrichtung die Form
etc. haben. Damit haben wir für den Ausgangszustand
.
Gesucht ist nun
Das ist also unabhängig von
. (Die Zwischenschritte empfehle ich dir selbst zu rechnen.)
Anfaenger2000
Verfasst am: 24. Jan 2019 17:18
Titel:
Danke für deine Antwort!
Falls die berechnete Dichtematrix korrekt ist, erhalte ich mit Definition (1) folgende W'Keit
wobei
der Eigenzustand zum Operator
mit Eigenwert
ist.
index_razor
Verfasst am: 24. Jan 2019 13:43
Titel: Re: W'keit einer Messung berechnen
Anfaenger2000 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage ist nun, wie ich mithilfe des Dichteoperators die W'keit bestimmen soll. Ist dies überhaupt möglich? In der Vorlesung habe wir immer nur Erwartungswerte mit dem Dichte Operator bestimmt.
Zu jedem Meßwert
gehört ein Teilraum aufgespannt von Eigenzuständen und zu diesem Eigenraum gehört ein Projektionsoperator
. Wenn der Eigenwert nicht entartet ist, gilt einfach
mit dem Eigenvektor
. (Diese Form kannst du hier benutzen.) Die Meßwahrscheinlichkeit von
im Zustand
ist
Daraus erhältst du sofort die Formel für den Erwartungswert über die Spektraldarstellung
nämlich
Umgekehrt ist natürlich die Wahrscheinlichkeit
der
Erwartungswert
des Operators
, d.h.
Also muß man sich nur eine der Gleichungen (1) oder (2) merken. Der Weg von (1) nach (2) erscheint mir natürlicher. Deswegen merke ich mir immer (1) zusammen mit der Spektraldarstellung für
.
Anfaenger2000
Verfasst am: 24. Jan 2019 11:21
Titel: W'keit einer Messung berechnen
Guten Tag,
ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:
Von einer Spin-1/2 Quelle werden Teilchen mit W'keit
im Zustand
und mit W'keit
im Zustand
emittiert. Mit welcher W'keit wird bei einer Spinmessung in y-Richtung
der Messwert
abgelesen.
Es handelt sich um ein gemischtes System. Deswegen würde ich erstmal den Dichteoperator bestimmen. Dieser war wie folgt definiert:
wobei
die W'keit ist, dass der Zustand
im Gemisch vertreten ist.
Jetzt kann man leicht nachrechnen (Eigenvektoren der Pauli-Matrix bestimmen und normieren), dass der Spin-Up in x-Richtung durch den Zustand
und Spin-up in z-Richtung durch
gegeben ist. Für den Dichteoperator (Matrix) ergibt sich
Meine Frage ist nun, wie ich mithilfe des Dichteoperators die W'keit bestimmen soll. Ist dies überhaupt möglich? In der Vorlesung habe wir immer nur Erwartungswerte mit dem Dichte Operator bestimmt.
Grüße