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[quote="tom_"]Ich habe es doch noch lösen können. Für [latex] \mathrm{rot} \vec{B} = -\frac{\mu_0\,q'(t)}{4\,\pi} \mathrm{grad} \frac{1}{r} [/latex] lautet die Lösung: [latex]\vec{B} = \frac{\mu_0\,q'(t)}{4\,\pi} \frac{z\left(y\,\vec{e}_x - x\,\vec{e}_y\right)}{(x^2+y^2)\,r}. [/latex] === [latex]r := \sqrt{x^2+y^2+z^2}[/latex][/quote]
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ML
Verfasst am: 31. Dez 2018 02:56
Titel: Re: Magnetfeld einer geladenen Kugel, die sich entlädt
Hallo,
tom_ hat Folgendes geschrieben:
Wenn das so nicht geht, siehst Du eine Möglichkeit das Feld dieser Anordnung zu berechnen?
Das grundlegende Problem scheint mir zu sein, dass Du eine vollkommen symmetrische Anordnung voraussetzt (gleichmäßige Ladungsverteilung, Kugel ist Äquipotentialfläche) und davon ausgehend auf einen gerichteten Stromfluss kommen willst. Das kann nicht funktionieren. Weshalb sollte sich bei einer so symmetrischen Anordnung irgendeine Ladung zum Draht hin bewegen?
Kurzum: Deine Aufgabenstellung enthält einen inneren Widerspruch.
Wenn ich dieses Problem mit einem Programm simulieren müsste (in meiner Uni-Zeit hatte ich Zugriff auf das Programm COMSOL, damit würde so etwas gehen), würde ich eine Kugel mit endlicher Leitfähigkeit annehmen und an einem Punkt (oder besser an einer kleinen Fläche, damit das E-Feld am Anschlusspunkt nicht unendlich wird) einen definierten Strom wegfließen lassen.
Die Strömungslinien werden auf der Kugel dann schön symmetrisch zu dem Kabelanschluss hinlaufen. Über
ergibt sich folglich ein von null verschiedenes tangentiales E-Feld auf der Kugel und damit die gesuchte (stromtreibende) Asymmetrie.
Zitat:
Oder was noch wichtiger ist, was würde ich im Experiment messen? Die Maxwellgleichungen sagen mir nur wie stark das B-Feld ist und das die Feldlinien senkrecht zu
stehen. Die Richtung ist aber ansonsten undefiniert. Sehr merkwürdig ...
Bei physikalischen Rechnungen gilt das gleiche wie in der Datenverarbeitung:
Rubbish in --> rubbish out.
Die undefinierte Richtung ist eine Konsequenz aus der vollkommenen Symmetrie, die Du in der Aufgabenstellung annimmst.
Viele Grüße
Michael
tom_
Verfasst am: 30. Dez 2018 13:12
Titel: Re: Magnetfeld einer geladenen Kugel, die sich entlädt
Hallo Michael,
Vielen Dank für Deine Antwort!
Die Rechnung hast Du richtig nachvollzogen. In Deiner finalen Formel ist nur der radiale Einheitsvektor zu viel (er entsteht ja schon bei der Gradientenbildung:
).
Die hast Recht, die Kontinuitätsgleichung ist verletzt. Über diesen Punkt hatte ich auch schon intensiv nachgedacht. Wende ich z.B. auf beiden Seiten der Gleichung die Divergenz an, so erhalte ich links
und rechts
Es fehlt also der Strom, der von der Kugel weg- bzw. zu dieser hin führt.
===
ML hat Folgendes geschrieben:
Diese Teilprobleme sind unphysikalisch, da sie dem Satz von der Ladungserhaltung widersprechen. Da der Satz von der Ladungserhaltung eine Folgerung aus den Maxwellgleichungen ist, sind innere Widersprüche bei den Überlegungen und Rechnungen vorprogrammiert, die die einzelnen Teilprobleme betreffen.
Gegen die Aufteilung in zwei Teilprobleme ist meiner Meinung nach aber rein logisch betrachtet nichts einzuwenden. Draht und Kugel haben zwar immer das gleiche Potential, aber in der Kugel befindet sich sehr viel mehr Ladung, als in dem dünnen Draht. Man hat also zwei Kondensatoren mit sehr unterschiedlicher Kapazität. Beim Entladen ändert sich somit die elektrische Feldstärke um die Kugel herum sehr viel stärker als um den Draht herum. Das bedeutet, dass der Verschiebungsstrom hauptsächlich durch die Kugel verursacht wird. Das Magnetfeld des Drahtes entsteht hingegen im Wesentlichen durch den Strom in ihm.
Aufbauend darauf hatte ich nun folgenden Ansatz aufgestellt (Durchflutungsgesetz):
Das habe ich dann in die zwei Gleichungen
und
zerlegt. Die erste lässt sich leicht lösen, die zweite Gleichung erzeugt bei mir Ratlosigkeit.
===
Wenn das so nicht geht, siehst Du eine Möglichkeit das Feld dieser Anordnung zu berechnen?
Oder was noch wichtiger ist, was würde ich im Experiment messen? Die Maxwellgleichungen sagen mir nur wie stark das B-Feld ist und das die Feldlinien senkrecht zu
stehen. Die Richtung ist aber ansonsten undefiniert. Sehr merkwürdig ...
Viele Grüße
Tom
ML
Verfasst am: 30. Dez 2018 01:26
Titel: Re: Magnetfeld einer geladenen Kugel, die sich entlädt
Hallo,
tom_ hat Folgendes geschrieben:
Ich versuche zunächst, Deine Rechnung nachzuvollziehen:
Die erste Teilgleichung ist der Durchflutungssatz mit j=0:
Anschließend nutzt Du offenbar das Gauß'sche Gesetz:
Q setzt Du als ein zeitveränderliches
an, und aus
machst du
, dann kommt heraus:
Das Problem besteht meines Erachtens darin, dass Du das ursprüngliche, physikalisch realistische Problem in zwei Teilprobleme unterteilst, die isoliert betrachtet unphysikalisch sind:
1. Teilproblem: in der Kugel wird Ladung vernichtet
2. Teilproblem: in der Kugel wird Ladung erzeugt und über den Leiter ins Unendliche transportiert
Diese Teilprobleme sind unphysikalisch, da sie dem Satz von der Ladungserhaltung widersprechen. Da der Satz von der Ladungserhaltung eine Folgerung aus den Maxwellgleichungen ist, sind innere Widersprüche bei den Überlegungen und Rechnungen vorprogrammiert, die die einzelnen Teilprobleme betreffen.
Ich denke, die Verletzung des Satzes von der Ladungserhaltung ist auch der Grund dafür, dass Du so sonderbare Lösungen wie hier bekommst:
Zitat:
Ich habe aber das Gefühl, dass für
überhaupt keine Lösung existiert? Anschaulich betrachtet müsste das Feld
auf einer Kugeloberfläche im Abstand
ja überall unendlich kleine Wirbel haben, was sich mathematisch gar nicht ausdrücken lässt.
Viele Grüße
Michael
tom_
Verfasst am: 29. Dez 2018 18:17
Titel: Lösung ist nicht isotrop
Die gefundene Lösung ist zwar mathematisch korrekt, scheint mir aber physikalisch sinnlos, da sie nicht isotrop ist. Das sollte sie aber sein, da sich das elektrische Feld richtungsunabhängig mit der Zeit verändert.
Hier das B-Feld als Plot:
https://www.physikerboard.de/files/print.pdf_138.jpg
Was könnte die Erklärung sein?
tom_
Verfasst am: 29. Dez 2018 16:25
Titel:
Ich habe es doch noch lösen können.
Für
lautet die Lösung:
===
tom_
Verfasst am: 28. Dez 2018 16:45
Titel: Magnetfeld einer geladenen Kugel, die sich entlädt
Meine Frage:
Hallo,
ich möchte die magnetische Flussdichte
einer geladenen Kugel berechnen, die sich über einen langen Draht langsam nach Masse entlädt. Die Ladung zum Zeitpunkt
sei
.
Entscheidend ist hier der Verschiebungsstrom, also die zeitliche Änderung der elektrischen Feldstärke
verursacht durch die Entladung der Kugel. Das Magnetfeld des stromführenden Drahtes soll vernachlässigt werden (da bekannt). Auch der Kugeldurchmesser soll hinreichend klein sein.
Wie lautet nun die magnetische Flussdichte
der Kugel aufgrund des Verschiebungsstroms?
Meine Ideen:
Gelöst werden muss
Ich habe aber das Gefühl, dass für
überhaupt keine Lösung existiert? Anschaulich betrachtet müsste das Feld
auf einer Kugeloberfläche im Abstand
ja überall unendlich kleine Wirbel haben, was sich mathematisch gar nicht ausdrücken lässt.
Ich habe hier leider einen Hänger. Danke für Hinweise!