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[quote="Physik2018"][b]Meine Frage:[/b] a) Betrachten Sie eine freie gedämpfte Schwingung im aperiodischen Grenzfall [latex]\gamma=\omega_0[/latex] und zeigen Sie, dass es für Anfangsbedingungen [latex]x(0)=x_0, \dot x(0)=v_0[/latex] mit [latex]\frac{x_0}{v_0+\gamma x_0}<0[/latex] genau einen Nulldurchgang der Auslenkung [latex] x(t) [/latex] für [latex]t>0[/latex] gibt, und bestimmen Sie den Zeitpunkt dieses Nulldurchgangs als Funktion von [latex]x_0[/latex], [latex]v_0[/latex]und dem Dämpfungskoeffizienten [latex]\gamma[/latex]. b) Die allgemeine Lösung der komplexen Differentialgleichung [latex]\ddot z(t)=-\omega_0^2z(t)[/latex], wobei [latex]\omega_0[/latex] eine reelle Zahl ist und die komplexe Zahl [latex]z[/latex] eine Abbildung der Reellen Zahlen in die komplexen Zahlen ist, ist [latex] z(t)=c_1e^{i\omega_0 t}+c_2e^{-i\omega_0 t}[/latex] mit komplexen Koeffizienten [latex]c_1[/latex] und [latex]c_2[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]z(t)[/latex] für alle [latex]t[/latex] rell ist, wenn dies für die Anfangswerte [latex]z(0)[/latex] und [latex]\dot z(0)[/latex] der Fall ist. [b]Meine Ideen:[/b] Die Lösung der Differentialgleichung die freie gedämpfte Schwingung ist ja bekanntlich [latex]e^{-\gamma t}(c_1+c_2t)[/latex]. [latex]x(0)=c_1[/latex] und [latex]\dot x(0)=-\gamma c_1+c_2[/latex] liefert mit die Konstanten, doch wie hilft mir das? Ich bin ratlos.[/quote]
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Physik2018
Verfasst am: 25. Jun 2018 17:42
Titel: Schwingungen beim aperiodischen Grenzfall
Meine Frage:
a) Betrachten Sie eine freie gedämpfte Schwingung im aperiodischen Grenzfall
und zeigen Sie, dass es für Anfangsbedingungen
mit
genau einen Nulldurchgang der Auslenkung
für
gibt, und bestimmen Sie den Zeitpunkt dieses Nulldurchgangs als Funktion von
,
und dem Dämpfungskoeffizienten
.
b) Die allgemeine Lösung der komplexen Differentialgleichung
, wobei
eine reelle Zahl ist und die komplexe Zahl
eine Abbildung der Reellen Zahlen in die komplexen Zahlen ist, ist
mit komplexen Koeffizienten
und
. Zeigen Sie, dass
für alle
rell ist, wenn dies für die Anfangswerte
und
der Fall ist.
Meine Ideen:
Die Lösung der Differentialgleichung die freie gedämpfte Schwingung ist ja bekanntlich
.
und
liefert mit die Konstanten, doch wie hilft mir das?
Ich bin ratlos.