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[quote="Obi2"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, ich sitze momentan an folgendem Problem: Ein runder Holzstab mit Länge = 1m, Durchmesser = 0,2m und der Dichte = 525 [latex]\frac{kg}{m^{3}}[/latex] schwimmt im Wasser. Wie tief taucht er bei horizontaler Schwimmlage ein? [b]Meine Ideen:[/b] Mein Ansatz wäre, das Volumen durch ein Integral in unendlich Teile aufzuteilen, und dann über die Dichte das zu berechnen. Sprich: [latex] \int_0^d \! \pi * r^{2} * l \, \dd V[/latex] Ist der Ansatz korrekt? Vielen Dank schonmal für die Antworten[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 21:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe erwähnt, dass es sich um eine Näherungslösung handelt. Vllt. habe ich mich auch verrechnet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Numerisch heisst ja nicht Näherungslösung. Man kann in diesem Fall aber eine Näherungslösung finden, die immer noch auf 5 Stellen genau ist, indem man den Sinus um pi herum entwickelt. Man erhält für den Segmentwinkel dann die Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0.475\pi=\frac{1}{2}(2\alpha-\pi)\quad \Rightarrow \alpha=\frac{39}{40}\pi"> <br /> <br />Für die Höhe unter Wasser ergibt sich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=0.1(1+\frac{\pi}{80})\,\mathrm{m}=10.393\,\mathrm{cm}"><span style="font-size: 7px; line-height: normal"></span> <br /> <br />(diese Stellen stimmen mit der exakten Lösung überein).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich habe meine erste Lösung nachgeprüft. Ich habe um die Nullstelle ncht fein genug iteriert. <br /> <br />Mit meiner zweiten simplen Formel bin ich für diesen Fall zu einem ähnlich genauen Ergebnis wie Du gekommen <br /> <br />y = 0,1039270 <br /> <br />Es hängt nur von der berücksichtigten Stellenzahl pi ab.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 21:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe erwähnt, dass es sich um eine Näherungslösung handelt. Vllt. habe ich mich auch verrechnet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Numerisch heisst ja nicht Näherungslösung. Man kann in diesem Fall aber eine Näherungslösung finden, die immer noch auf 5 Stellen genau ist, indem man den Sinus um pi herum entwickelt. Man erhält für den Segmentwinkel dann die Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0.475\pi=\frac{1}{2}(2\alpha-\pi)\quad \Rightarrow \alpha=\frac{39}{40}\pi"> <br /> <br />Für die Höhe unter Wasser ergibt sich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=0.1(1+\frac{\pi}{80})\,\mathrm{m}=10.393\,\mathrm{cm}"><span style="font-size: 7px; line-height: normal"></span> <br /> <br />(diese Stellen stimmen mit der exakten Lösung überein).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Frankx</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 19:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, das Ergebnis ist nicht plausibel. Ich weiss auch nicht, was Mathefix gerechnet hat, aber schon eine Rechnung Handgelenk mal pi sollte einem sagen, dass dieser Wert zu hoch ist.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Jetzt wo du drauf hinweist, scheint mir der Wert auch ziemlich hoch. <br /> <br />Allerdings komme ich auch nicht auf deine Formel. <br /> <br /> <br />.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 19:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, das Ergebnis ist nicht plausibel. Ich weiss auch nicht, was Mathefix gerechnet hat, aber schon eine Rechnung Handgelenk mal pi sollte einem sagen, dass dieser Wert zu hoch ist. Die Dichte des Holzstabs beträgt ja praktisch die Hälfte des Wassers, weshalb auch ungefähr die Hälfte des Stabs unter Wasser sein muss. <br /> <br />Löst man die Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0.475\pi=\frac{1}{2}(\alpha-\sin\alpha)"> <br /> <br />numerisch, erhält man h=10.39cm.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich habe erwähnt, dass es sich um eine Näherungslösung handelt. Vllt. habe ich mich auch verrechnet. <br /> <br />Man hätte näherungsweise auch so vorgehen können, indem man das geringe zum Restauftrieb erforderliche Volumen direkt oberhalb der halben Eintauchtiefe als Quader betrachtet. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y = r \cdot (1+ \frac{\pi \cdot (\varrho_H- 0,5\cdot \varrho_W) }{2\cdot \varrho_W } )"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y = 0,1039 m"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 19:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, das Ergebnis ist nicht plausibel. Ich weiss auch nicht, was Mathefix gerechnet hat, aber schon eine Rechnung Handgelenk mal pi sollte einem sagen, dass dieser Wert zu hoch ist. Die Dichte des Holzstabs beträgt ja praktisch die Hälfte des Wassers, weshalb auch ungefähr die Hälfte des Stabs unter Wasser sein muss. <br /> <br />Löst man die Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0.475\pi=\frac{1}{2}(\alpha-\sin\alpha)"> <br /> <br />numerisch, erhält man h=10.39cm.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 19:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Frankx hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Rechnung von Mathefix habe ich nicht im Detail nachvollzogen, aber das Ergebnis scheint plausibel. <br /> <br />Die Lösung für y ist unabhängig von der Länge des Stabes. <br /> <br />Bleibt zu sagen, dass die horizontale Schwimmlage nicht stabil ist. <br /> <br />.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Plausibilitätsprüfung: <br /> <br />Die Gewichtskraft des Stabes beträgt 161,72 N. <br /> <br />Bei halber Eintauchtiefe beträgt die Auftriebskraft 154,02 N. <br /> <br />Bei Gleichgewicht muss die Eintauchtiefe etwas grösser als der Radius von 0,1 m sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Frankx</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 18:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Rechnung von Mathefix habe ich nicht im Detail nachvollzogen, aber das Ergebnis scheint plausibel. <br /> <br />Die Lösung für y ist unabhängig von der Länge des Stabes. <br /> <br />Bleibt zu sagen, dass die horizontale Schwimmlage nicht stabil ist. <br /> <br />.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 18:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Auch mit der Näherungslösung für das Kreissegment unter Wasser <br /> <br />y = Eintauchtiefe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A \approx \frac{4}{3}\cdot y\cdot \sqrt{2\cdot r\cdot y- y^{2} } "> <br /> <br />führt das zu der unangenehmen Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2\cdot r\cdot y ^{3} - y^{4} - (\frac{3\cdot r^{2} \cdot \pi \cdot \varrho_H }{4\cdot \varrho_W } )^{2} = 0"> <br /> <br />die sich meinem Lösungsversuch widersetzt. <br /> <br />Es bleibt wohl nichts anderes übrig, als y numerisch zu bestimmen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y \approx 0,129 m"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 13:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aus Deinem Integral werde ich nicht ganz schlau. Der Stab liegt ja horizontal im Wasser. <br /> <br />Aus dem Kräftegleichgewicht Auftriebskraft=Gewichtskraft folgt der Anteil a des Volumens des Holzstabs, das im Wasser ist. Oder auch der Anteil der Querschnittsfläche, die unter dem Wasser liegt. Also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a=\frac{\int_{-d/2}^{h}\sqrt{(\frac{d}{2})^2-x^2}\,\dd x}{\pi (\frac{d}{2})^2}"> <br /> <br />Der Zähler ist die Querschnittfläche, die bis zur Höhe h unter Wasser liegt. Auf diese Weise lässt sich h aber nicht einfach bestimmen. <br /> <br />Auch die Formel für die Fläche eines <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment" target="_blank" class="postlink">Kreissegments</a> kann man wegen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha-\sin\alpha"> nicht einfach auflösen. <br /> <br />Ich sehe im Moment keinen Weg, h explizit auszurechnen. Es bliebe nur die Möglichkeit, h numerisch auszurechnen. Oder man nutzt eine Näherung für den Sinus, denn da a nur wenig über 0.5 liegt, ist der Kreissegmentwinkel nur wenig kleiner als pi. <br /> <br />Vielleicht weiss ja sonst jemand einen Lösungsweg.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Obi2</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Jun 2018 09:03<span class="gen"> </span> Titel: Schwimmlage eines Holzstabs</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo,<br />ich sitze momentan an folgendem Problem:<br />Ein runder Holzstab mit Länge = 1m, Durchmesser = 0,2m und der Dichte = 525 <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{kg}{m^{3}}"> schwimmt im Wasser. Wie tief taucht er bei horizontaler Schwimmlage ein?<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Mein Ansatz wäre, das Volumen durch ein Integral in unendlich Teile aufzuteilen, und dann über die Dichte das zu berechnen.<br />Sprich: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int_0^d \! \pi * r^{2} * l \, \dd V"><br />Ist der Ansatz korrekt?<br /><br />Vielen Dank schonmal für die Antworten</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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