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[quote="physikanfänger98"][b]Meine Frage:[/b] Aufgabe: Ein einfaches Pendel der Länge L und der Masse m hänge in einem Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit v eine kreisförmige Rennstrecke vom Radius R durchfährt. Angenommen, das Pendel führt kleine Schwingungen in radialer Richtung um seine Gleichgewichtslage aus. Welche Frequenz hat die Schwingung? [b]Meine Ideen:[/b] Die Zentripetalbeschleunigung wirkt ja einmal mit der horizontalen Komponente der Gravitationsbeschleunigung und einmal gegen sie. Meine Vermutung hier wäre, dass sie sich also aufhebt, sich das Pendel aber in einem Winkel zur Vertikalen einstellt, welcher durch [latex]\alpha=tan\frac{F_{ZP}}{F_G}[/latex] gegeben ist. Wie ich von hieraus jetzt weitermachen soll, weiß ich leider nicht. Hat irgendjemand eine Idee?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 20:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hast Du eine bessere Idee als ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0"> zu bestimmen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie gesagt, man darf hier sicher annehmen, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L\ll R">, sodass sich die Gleichgewichtslage einfach aus dem Verhältnis v^2/(g*r) ergibt. Dann lässt sich auch die Aufgabe lösen und die gesuchte Frequenz bestimmen, die ebenfalls von diesem Verhältnis abhängt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 13:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bei kleinen Auslenkungen hast Du natürlich recht. Aber sind die Auslenkungen wirklich klein? Da keine Werte für v, R, L gegeben sind, folge ich Deinem Ansatz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0"> muss nicht klein sein. Da darf man also keine Näherungen bei den Winkelfunktionen verwenden. Klein ist nur <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\alpha-\alpha_0)">. Daneben nimmt man natürlich an, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L\ll R"> gilt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">NACHTRAG <br /> <br />Wo ist die Zentripetalkraft?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Zentripetalkraft (oder Zentrifugalkraft, wenn man die Situation im System des Autos betrachtet) steckt in der rücktreibenden Kraft F drin. F setzt sich zusammen aus einer Komponente der Zentrifugal- sowie einer Komponente der Gewichtskraft. <br /> <br />Damit man in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dF(\alpha)}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=\alpha_0}=..."> <br /> <br />die Winkelfunktionen rausbringt und auf ein „schönes“ Resultat kommt, braucht man noch, dass gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}"> <br /> <br />Alternativ kann man auch die Winkelfunktionen umgehen, indem man die Kraft F in Abhängigkeit der horizontalen Auslenkung x ausdrückt (und sin(..)=x/L etc. benutzt) und dann um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=x_0"> herum entwickelt. Einfacher ist das aber nicht unbedingt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vielen Dank für Deine prompte Antwort. <br /> <br />Hast Du eine bessere Idee als ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0"> zu bestimmen? <br /> <br />Mache jetzt erst einmal Urlaub.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 13:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bei kleinen Auslenkungen hast Du natürlich recht. Aber sind die Auslenkungen wirklich klein? Da keine Werte für v, R, L gegeben sind, folge ich Deinem Ansatz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0"> muss nicht klein sein. Da darf man also keine Näherungen bei den Winkelfunktionen verwenden. Klein ist nur <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\alpha-\alpha_0)">. Daneben nimmt man natürlich an, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L\ll R"> gilt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">NACHTRAG <br /> <br />Wo ist die Zentripetalkraft?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Zentripetalkraft (oder Zentrifugalkraft, wenn man die Situation im System des Autos betrachtet) steckt in der rücktreibenden Kraft F drin. F setzt sich zusammen aus einer Komponente der Zentrifugal- sowie einer Komponente der Gewichtskraft. <br /> <br />Damit man in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dF(\alpha)}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=\alpha_0}=..."> <br /> <br />die Winkelfunktionen rausbringt und auf ein „schönes“ Resultat kommt, braucht man noch, dass gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}"> <br /> <br />Alternativ kann man auch die Winkelfunktionen umgehen, indem man die Kraft F in Abhängigkeit der horizontalen Auslenkung x ausdrückt (und sin(..)=x/L etc. benutzt) und dann um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=x_0"> herum entwickelt. Einfacher ist das aber nicht unbedingt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 12:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Gesucht ist die Schwingungsfrequenz für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage, also für eine harmonische Schwingung. Es muss keine komplizierte Differentialgleichung gelöst werden. <br /> <br />Für kleine Auslenkungen ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung. Die Bewegungsgleichung hat also die Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?mL\ddot{\alpha}=F(\alpha)=-k(\alpha-\alpha_0)"> <br /> <br />für ein k>0. Gesucht ist die tangential wirkende Kraft <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F\propto(\alpha-\alpha_0)"> für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0">. k kann bestimmt werden über <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k=\frac{dF(\alpha_0)}{d\alpha}"> <br /> <br />Mit der Konstanten k ergibt sich aus der obigen Bewegungsgleichung die Schwingungsfrequenz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />NACHTRAG <br /> <br />Wo ist die Zentripetalkraft?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 12:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Gesucht ist die Schwingungsfrequenz für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage, also für eine harmonische Schwingung. Es muss keine komplizierte Differentialgleichung gelöst werden. <br /> <br />Für kleine Auslenkungen ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung. Die Bewegungsgleichung hat also die Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?mL\ddot{\alpha}=F(\alpha)=-k(\alpha-\alpha_0)"> <br /> <br />für ein k>0. Gesucht ist die tangential wirkende Kraft <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F\propto(\alpha-\alpha_0)"> für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0">. k kann bestimmt werden über <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k=\frac{dF(\alpha_0)}{d\alpha}"> <br /> <br />Mit der Konstanten k ergibt sich aus der obigen Bewegungsgleichung die Schwingungsfrequenz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Bei kleinen Auslenkungen hast Du natürlich recht. Aber sind die Auslenkungen wirklich klein? Da keine Werte für v, R, L gegeben sind, folge ich Deinem Ansatz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 11:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Gesucht ist die Schwingungsfrequenz für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage, also für eine harmonische Schwingung. Es muss keine komplizierte Differentialgleichung gelöst werden. <br /> <br />Für kleine Auslenkungen ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung. Die Bewegungsgleichung hat also die Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?mL\ddot{\alpha}=F(\alpha)=-k(\alpha-\alpha_0)"> <br /> <br />für ein k>0. Gesucht ist die tangential wirkende Kraft <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F\propto(\alpha-\alpha_0)"> für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha_0">. k kann bestimmt werden über <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k=\frac{dF(\alpha_0)}{d\alpha}"> <br /> <br />Mit der Konstanten k ergibt sich aus der obigen Bewegungsgleichung die Schwingungsfrequenz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2018 10:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also, erst mal ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha = \arctan(\frac{F_Z}{F_G} ) "> <br /> <br />Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass das Pendel aus der Ruhelage - Winkel alpha - um den Winkel Beta ausgelenkt und dann losgelassen wird. <br /> <br />Neben der Rückstellkraft und der Trägheitskraft wirkt noch die Zentripetalkraft auf die Masse. Der Betrag der Zentripetalkraft wiederum hängt vom momentanen Auslenkwinkel ab. <br />Das Ergebnis ist eine komplizierte DGL. <br /> <br />Schon die Bestimmung des exakten Auslenkwinkels in der Ruhelage ist nicht so leicht (wenigstens für mich) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{v^{2}\cdot \cos(\alpha_0 ) }{R+ L\cdot \sin(\alpha_0 ) } - g\cdot \sin(\alpha_0 ) = 0"> <br /> <br />Der für die Zentripetalkraft relevante Radius beträgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R_Z = R + L\cdot \sin(\alpha_0 + \beta ) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_Z = \frac{m\cdot v^{2} }{R_Z} = \frac{m\cdot v^{2} }{R + L\cdot \sin(\alpha_0 + \beta ) }"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>physikanfänger98</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jun 2018 18:23<span class="gen"> </span> Titel: Pendel im Auto</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Aufgabe: Ein einfaches Pendel der Länge L und der Masse m hänge in einem Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit v eine kreisförmige Rennstrecke vom Radius R durchfährt. <br /> <br />Angenommen, das Pendel führt kleine Schwingungen in radialer Richtung um seine Gleichgewichtslage aus. Welche Frequenz hat die Schwingung? <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Die Zentripetalbeschleunigung wirkt ja einmal mit der horizontalen Komponente der Gravitationsbeschleunigung und einmal gegen sie. Meine Vermutung hier wäre, dass sie sich also aufhebt, sich das Pendel aber in einem Winkel zur Vertikalen einstellt, welcher durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha=tan\frac{F_{ZP}}{F_G}"> gegeben ist. <br />Wie ich von hieraus jetzt weitermachen soll, weiß ich leider nicht. Hat irgendjemand eine Idee?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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