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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
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[quote="mark_7878"]Abend zusammen, Ich soll für einen Hertz'schen Dipol die elektromagnetischen Felder berechnen, wobei ich dies über die retardierten elektromagnetischen Potenziale (Lorentz Eichung) tun soll. Es sei im Folgenden [latex]\vec{p}(t)[/latex] der Punktdipol, sowie [latex]\rho(\vec{x},t)=-\vec{p}(t)\nabla\delta(\vec{x}),\vec{j}(\vec{x},t)=\dot{\vec{p}}(t)\delta({\vec{x}}) [/latex]. Die Potenziale habe ich soweit berechnet ([latex]\vec{A}(\vec{x},t)=\dot{\vec{p}}(t-|\vec{x}|/c) k/{c|\vec{x}|}[/latex] und [latex]\Phi(\vec{x},t)=k\nabla \vec{p}(t-|\vec{x}|/c)/|\vec{x}|[/latex]) und hatte bisher auch nicht wirklich Probleme, aber bei den Feldern komme ich doch etwas ins Schwitzen. Das elektrische Feld ist gegeben durch [latex]\vec{E}(\vec{x},t)&=&-\nabla \Phi(\vec{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}(\vec{x},t)\\ &=& k\Delta \frac{\vec{p}(t-\frac{|\vec{x}|}{c})}{|\vec{x}|}-\frac{k}{c^2}\frac{\partial}{\partial t} \frac{\dot{\vec{p}}(t-\frac{|\vec{x}|}{c})}{|\vec{x}|}\\ &=& k\Delta \frac{\vec{p}(t-\frac{|\vec{x}|}{c})}{|\vec{x}|} - \frac{k}{c^2|\vec{x}|}\ddot{\vec{p}}(t-|\vec{x}|/c) [/latex] Das Hauptproblem für mich ist in diesem Fall der Laplace Operator, bzw. wie man das in diesem Fall richtig handhaben muss. Ich dachte daran zuerst mal [latex]\partial_i^2[/latex] für eine Komponente [latex]k[/latex] von [latex]\vec{p}/|\vec{x}|[/latex] zu berechnen, also [latex]\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\left(\frac{\vec{p}}{|\vec{x}|}\right)_k &=& \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{p_k}{|\vec{x}|}(t-|\vec{x}|/c)\right] \\ &=& \frac{\partial }{\partial x_i}\left[ -\dot{p}_k\frac{x_i}{|\vec{x}|}+ p_k\frac{x_i}{|x|^3}\right] \\ &=& -\ddot{p}_k\frac{x_i^2}{|\vec{x}|^3}-\frac{\dot{p}_k}{|\vec{x}|^2}+ \frac{2\dot{p}_kx_i^2}{|\vec{x}|^4}+\dot{p}_k\frac{x_i^2}{|\vec{x}|^4}+\frac{p_k}{|\vec{x}|^3}-\frac{3x_i^2p_k}{|\vec{x}|^5}[/latex] Das Problem ist nun, dass ich leider etwas den Überblick verloren habe... Die [latex]p_k[/latex] kann man direkt in [latex]\vec{p}[/latex] umschreiben, aber wie gehe ich am besten mit den [latex]x_i[/latex] um? Irgendwie schaffe ich es den Ausdruck einfach nicht auf die in Wikipeida dargestellte Form zu bringen... Hoffe jemand kann etwas nachhelfen, Gruss Mark[/quote]
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Nachricht
mark_7878
Verfasst am: 27. Apr 2018 19:04
Titel: Hertz'scher Dipol
Abend zusammen,
Ich soll für einen Hertz'schen Dipol die elektromagnetischen Felder berechnen, wobei ich dies über die retardierten elektromagnetischen Potenziale (Lorentz Eichung) tun soll.
Es sei im Folgenden
der Punktdipol, sowie
. Die Potenziale habe ich soweit berechnet (
und
) und hatte bisher auch nicht wirklich Probleme, aber bei den Feldern komme ich doch etwas ins Schwitzen.
Das elektrische Feld ist gegeben durch
Das Hauptproblem für mich ist in diesem Fall der Laplace Operator, bzw. wie man das in diesem Fall richtig handhaben muss. Ich dachte daran zuerst mal
für eine Komponente
von
zu berechnen, also
Das Problem ist nun, dass ich leider etwas den Überblick verloren habe... Die
kann man direkt in
umschreiben, aber wie gehe ich am besten mit den
um? Irgendwie schaffe ich es den Ausdruck einfach nicht auf die in Wikipeida dargestellte Form zu bringen...
Hoffe jemand kann etwas nachhelfen,
Gruss Mark