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[quote="Myon"]Zuerst einmal: in der Behauptung oben ist ein Index im ersten Kronecker-Delta falsch. Zum Fall 2: Man kann hier nochmals 2 Unterfälle unterscheiden: Fall 2a) [latex]i\neq j,l\neq m, i=l, j=m[/latex]. Dann ist [latex]\sum_k \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=1=\underbrace{\delta_{il}\delta_{jm}}_{=1}-\underbrace{\delta_{im}\delta_{jl}}_{=0}[/latex] (die [latex]\epsilon[/latex] sind nur für ein k ungleich null, und dann beide =1 oder =-1). Fall 2b) [latex]i\neq j,l\neq m, i=l, j\neq m[/latex]. Setz einfach einmal z.B. i=l=1, j=2, m=3. Dann siehst Du schnell, dass beide Seiten null ergeben. Natürlich muss man das noch präziser aufschreiben.[/quote]
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Autor
Nachricht
Myon
Verfasst am: 25. Apr 2018 23:44
Titel:
Zuerst einmal: in der Behauptung oben ist ein Index im ersten Kronecker-Delta falsch.
Zum Fall 2: Man kann hier nochmals 2 Unterfälle unterscheiden:
Fall 2a)
. Dann ist
(die
sind nur für ein k ungleich null, und dann beide =1 oder =-1).
Fall 2b)
. Setz einfach einmal z.B. i=l=1, j=2, m=3. Dann siehst Du schnell, dass beide Seiten null ergeben. Natürlich muss man das noch präziser aufschreiben.
Physik2018
Verfasst am: 25. Apr 2018 19:26
Titel: Beweis Grassmann Identität mit Epsilon Tensor
Meine Frage:
Zu Zeigen:
Da die vier Indizes
,
,
und
jeweils nur drei verschiedene Werte annehmen können, muss mindestens ein Indexpaar den gleichen Wert haben. Aufgrund der oben beschriebenen Vertauschungseigenschaft (zyklische und anti-zyklische Permutation der Indizes), braucht man nur die folgenden beiden Fälle zu beweisen:
Fall 1:
und
,
beliebig (alle anderen Fälle ergeben sich aufgrund der Vertauschungseigenschaften automatisch)
Fall 2:
und
und latex] i=l[/latex] (Analoge Fälle für verschiedene Indizes ergeben sich aus den Vertauschungseigenschaften des Epsilon Tensors).
Aufgabe: Verifizieren Sie die Grassmann Identität für Fall 1 und Fall 2
Meine Ideen:
Fall 1 habe ich schon gezeigt, das ist ja ganz einfach :-)
Für Fall 2 habe ich bis jetzt kaum Ideen. Alles was ich versucht habe, hat zu einem Widerspruch geführt. Könnt ihr mir helfen, die Aufgabe zu lösen? Das wäre sehr nett.