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[quote="piknockyou"]Aaaah, jetzt verstehe ich! Die Höhe h kannst du nicht ohne Weiteres in die Gleichung einsetzen, weil es von Theta abhängig ist und beim Integrieren berücksichtigt werden muss! Was wären in meinem Fall den die Grenzen Theta_2 und Theta_1? Vielen vielen Dank! Das kann ich wohl ohne Weiteres über WolframAlpha numerisch lösen. Wenn etwas nicht klappt, sage ich Bescheid. Zusatzfrage: Meinst du intuitiv oder sogar sicher, dass ich die gleiche Gleichung verwenden kann, wenn ich sogar die Zeit berechnen möchte, wenn die Masse über die Horizontale oder gar im untersten Punkt über die Vertikale schwingt? Herzlichen Dank nochmal![/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. März 2018 13:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>piknockyou hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aaaah, jetzt verstehe ich! <br />Die Höhe h kannst du nicht ohne Weiteres in die Gleichung einsetzen, weil es von Theta abhängig ist und beim Integrieren berücksichtigt werden muss! <br /> <br />Was wären in meinem Fall den die Grenzen Theta_2 und Theta_1? <br /> <br />Vielen vielen Dank! <br />Das kann ich wohl ohne Weiteres über WolframAlpha numerisch lösen. <br />Wenn etwas nicht klappt, sage ich Bescheid. <br /> <br />Zusatzfrage: Meinst du intuitiv oder sogar sicher, dass ich die gleiche Gleichung verwenden kann, wenn ich sogar die Zeit berechnen möchte, wenn die Masse über die Horizontale oder gar im untersten Punkt über die Vertikale schwingt? <br /> <br />Herzlichen Dank nochmal!</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Integrationsgrenzen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Theta1 = 0|"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Theta2 = \left| \Theta_B \right |"> <br /> <br />Antwort zur Zusatzfrage: <br /> <br />Ja. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Theta_B"> kannst Du frei wählen. Beachte die Regel, wenn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha - \theta_{B} < 0"> ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>piknockyou</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. März 2018 12:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aaaah, jetzt verstehe ich! <br />Die Höhe h kannst du nicht ohne Weiteres in die Gleichung einsetzen, weil es von Theta abhängig ist und beim Integrieren berücksichtigt werden muss! <br /> <br />Was wären in meinem Fall den die Grenzen Theta_2 und Theta_1? <br /> <br />Vielen vielen Dank! <br />Das kann ich wohl ohne Weiteres über WolframAlpha numerisch lösen. <br />Wenn etwas nicht klappt, sage ich Bescheid. <br /> <br />Zusatzfrage: Meinst du intuitiv oder sogar sicher, dass ich die gleiche Gleichung verwenden kann, wenn ich sogar die Zeit berechnen möchte, wenn die Masse über die Horizontale oder gar im untersten Punkt über die Vertikale schwingt? <br /> <br />Herzlichen Dank nochmal!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. März 2018 13:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>piknockyou hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vielen Dank für die ausführliche Herleitung! <br /> <br />Warum schreibst du für die Höhe zur Berechnung von E_pot: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R\cdot \sin(\theta_{b})">? <br />Möchtest du damit h berechnen? Das ist doch kein rechtwinkliges Dreieck. Damit kriegst du doch eine ganz andere Höhe heraus als h. (oder?) <br /> <br />Was ich wohl noch dazu hätte sagen sollen: <br />Alle Parameter auf der Abbildung außer die Zeit t sind bekannt. <br />Das Massenträgheitsmoment um die Drehachse J und die senkrechte Höhe h müssen daher nicht berechnet werden. <br />Im übrigen handelt es sich um einen viel komplexeren Körper als nur eine <br /> <br />Wärst du so nett, noch einmal mit diesem Wissen, die Integralgleichung aufzustellen? <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich hatte den gestrichelten Radius als Andeutung einer Bewegung und nicht als Ende des Drehwinkels interpretiert. <br />Bekannt sein muss der Winkel zwischen Stange und Ebene durch den Drehpunkt als Ausgangsposition. Ich nenne ihn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha "> <br /> <br />Wenn die Stange sich im Uhrzeigersinn um den Winkel<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta_{B}"> aus der Ausgangsposition gedreht hat, gilt für die Höhe h <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h = R\cdot (\sin(\alpha ) - \sin(\alpha - \theta_{B}) )"> <br /> <br />Die Integralgleichung lautet dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\Theta1}^{\Theta2} \frac{\dd \Theta_B}{ \sqrt{\sin(\alpha ) - \sin(\alpha - \theta_{B} ) } }=\sqrt{\frac{2\cdot g\cdot R}{\frac{2}{5} \cdot r^{2} + R^{2} }} \cdot \int \dd t "> <br /> <br />und ist damit noch unerfreulicher. <br /> <br />Wenn I = I_S unter Beachtung von Steiner bekannt ist, lautet die Integralgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\Theta1}^{\Theta2} \frac{\dd \Theta_B}{ \sqrt{\sin(\alpha ) - \sin(\alpha - \theta_{B} ) } }=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g\cdot R}{I_S} } \cdot t "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t =\frac{1}{\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g\cdot R}{I_S} }} \cdot \int_{\Theta1}^{\Theta2} \frac{\dd \Theta_B}{ \sqrt{\sin(\alpha ) - \sin(\alpha - \theta_{b} ) } }"> <br /> <br />Wie bereits gesagt, eine elementare Lösung ist mir nicht bekannt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>piknockyou</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. März 2018 11:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank für die ausführliche Herleitung! <br /> <br />Warum schreibst du für die Höhe zur Berechnung von E_pot: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R\cdot \sin(\theta_{b})">? <br />Möchtest du damit h berechnen? Das ist doch kein rechtwinkliges Dreieck. Damit kriegst du doch eine ganz andere Höhe heraus als h. (oder?) <br /> <br />Was ich wohl noch dazu hätte sagen sollen: <br />Alle Parameter auf der Abbildung außer die Zeit t sind bekannt. <br />Das Massenträgheitsmoment um die Drehachse J und die senkrechte Höhe h müssen daher nicht berechnet werden. <br />Im übrigen handelt es sich um einen viel komplexeren Körper als nur eine Kugel. <br /> <br />Wärst du so nett, noch einmal mit diesem Wissen, die Integralgleichung aufzustellen? <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. März 2018 14:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nach EES: <br /> <br />r = Radius der Kugel <br />m = Masse der Kugel <br />R = Länge der Stange <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_{pot} = E_{kin}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_{pot} = m\cdot g\cdot R \cdot\sin(\Theta_B ) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot I^{`} \cdot \omega ^{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I^{`} = I+ m\cdot R^{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I =\frac{2}{5} \cdot m \cdot r^{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = \dot{\Theta_B } "> <br /> <br />führt zu der Integralgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\Theta1}^{\Theta2} \frac{\dd \Theta_B}{ \sqrt{\sin(\Theta_B ) } }=\sqrt{\frac{2\cdot g\cdot R}{\frac{2}{5} \cdot r^{2} + R^{2} }} \cdot \int \dd t "> <br /> <br />Elementar nicht lösbar. <img src="images/smiles/teufel.gif" alt="Teufel" border="0" /> Wenigstens nicht von mir. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Näherungslösung durch Reihenentwicklung. <br /> <br />Google unter "Mathematisches Pendel" Abschnitt exakte Lösung <br /> <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>piknockyou</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. März 2018 11:24<span class="gen"> </span> Titel: "Freier Fall" bei Rotation - Dauer berechnen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Ich habe mir folgende stark vereinfachte Aufgabe gestellt (siehe Abbildung), damit ich ungefähr die Berechnungszeit einer FEM-Simulation einschätzen kann: <br /> <br />Eine massebehaftete, somit auch massenträgheitsbehaftete Kugel ist mit einer masselosen, starren Stange festverbunden. <br />Die masselose Stange ist am untere Ende drehgelagert. <br />Der Abstand von der Drehlagerachse bis zum Massenschwerpunkt der Kugel beträgt R. <br />Die Kugel wird von einer bestimmten Höhe fallen gelassen und dem freien Fall ausgesetzt. <br />Jegliche Art von Reibung wird vernachlässigt. <br /> <br />Welche Zeit vergeht, bis der Drehwinkel Theta bzw. die Fallhöhe h erreicht wird? <br /> <br />LG <br /> <br />EDIT: Alle Parameter auf der Abbildung außer die Zeit t sind bekannt und müssen daher nicht berechnet werden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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