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[quote="Sito"]Guten Abend zusammen. Ich habe momentan etwas mit einer Aufgabe zu kämpfen. Sei [latex]\phi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)[/latex] eine Schwartzfunktion. Bestimmen sie eine Lösung [latex]\Psi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{C},(t,x)\mapsto \Psi(t,x)[/latex] des Cauchy-Problems für zeitabhängige Schrödingergleichung [latex]i\partial_t \Psi(t,x)+\frac{1}{2}\Delta\Psi(t,x)=0[/latex] und [latex]\Psi(0,x)=\phi(x)[/latex], wobei [latex]t>0[/latex]. Mein Ansatz war eine Fouriertransformation zu machen und somit auf die folgende Differentialgleichung zu kommen [latex]i\partial_t\hat{\Psi}(t,k)-\frac{1}{2}k^2\hat{\Psi}(t,k)=0[/latex] und [latex]\hat{\Psi}(0,k)=\hat{\phi}(k)[/latex] Ich erhalte dann: [latex]\hat{\Psi}(t,k)=\hat{\phi}(k)e^{-\frac{ik^2}{2}t}[/latex] Nun muss man das Ganze aber wieder Rücktransformieren und hier beginnen meine Probleme: [latex]\Psi(t,x)&=&\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(k)e^{-\frac{ik^2}{2}t}e^{ikx}dk= \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}\underbrace{\left[\int_{\mathbb{R}^n}\Psi(0,x)e^{-ikx}dx\right]}_{=:\hat{\phi}(k)}e^{\frac{it}{2}k^2+ikx}dk \\&=& \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\Psi(0,x)e^{-\frac{it}{2}k^2}dxdk[/latex] Hier bin ich mir zum einen beim letzten Schritt nicht sicher, weiter weiss ich auch nicht wie man dieses Integral berechnet... Es sieht zwar schwer nach einem Gauss Integral aus, aber da [latex]k\in\mathbb{R}^n[/latex] ist, weiss ich nicht wie man so etwas integriert... Hoffe auf ein paar Tipps. Gruss Sito[/quote]
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Nachricht
Sito
Verfasst am: 15. Nov 2017 21:31
Titel: Schrödinger-Gleichung und Fouriertransformation
Guten Abend zusammen.
Ich habe momentan etwas mit einer Aufgabe zu kämpfen.
Sei
eine Schwartzfunktion. Bestimmen sie eine Lösung
des Cauchy-Problems für zeitabhängige Schrödingergleichung
und
, wobei
.
Mein Ansatz war eine Fouriertransformation zu machen und somit auf die folgende Differentialgleichung zu kommen
und
Ich erhalte dann:
Nun muss man das Ganze aber wieder Rücktransformieren und hier beginnen meine Probleme:
Hier bin ich mir zum einen beim letzten Schritt nicht sicher, weiter weiss ich auch nicht wie man dieses Integral berechnet... Es sieht zwar schwer nach einem Gauss Integral aus, aber da
ist, weiss ich nicht wie man so etwas integriert...
Hoffe auf ein paar Tipps.
Gruss Sito