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[quote="Mathefix"]Herleitung über Massen- und Impulsbilanz [b]1. Massenbilanz[/b] [latex]\frac{\dd m}{\dd t} = \dot{m} [/latex] [latex]m(t)= \dot{m} \cdot \int_0^t \dd t [/latex] [latex]m(t) = m_0 - \dot{m} \cdot t[/latex] [latex]\dot{m}[/latex] = Massenstrom [b]2. Impulsbilanz[/b] Die Masse verringert sich um dm. Das Masseteilchen wird mit der Geschwindigkeit c ausgestossen. [latex]I = (m - dm)\cdot v + dm\cdot c = m\cdot v -dm\cdot v+ dm\cdot c = 0[/latex] [latex]I = m \cdot v - dm\cdot (v- c) =0[/latex] Auf die Rakete wirkt die Impulsänderung [latex]dI = d(m\cdot v) - dm\cdot (v -c)= 0 [/latex] [latex]dI = m \cdot dv+ v\cdot dm - v\cdot dm - c\cdot dm = 0 [/latex] [latex]dI = m \cdot dv - c\cdot dm = 0[/latex] [b]Steiggeschwindigkeit[/b] [latex]dv = -c \cdot \frac{dm}{m} [/latex] [latex]v = -c\cdot \int_{m_0} ^m \!\frac{d m}{m} [/latex] [latex]v = c\cdot \ln(\frac{m_0}{m} ) [/latex] Berücksichtigung Erdbeschleunigung [latex]v = c\cdot \ln(\frac{m_0}{m} ) - g \cdot t [/latex] Aus Massenbilanz [latex]m = m(t) = m_0 - \dot{m} \cdot t[/latex] [latex]v(t) = c\cdot \ln(\frac{m_0}{m_0 - \dot{m} \cdot t} ) - g \cdot t [/latex] Bestimmung Massenstrom und Austrittsgeschwindigkeit Schubkraft [latex]F_s = \dot{m} \cdot c[/latex] [latex]\dot{m} = \frac{m_b}{t_b}[/latex] [latex]c = \frac{F_s \cdot t_b}{m_b} [/latex] Bei Brennschluss gilt [latex]v_b = \frac{F_s \cdot t_b}{m_b} \cdot \ln(\frac{m_0}{m_0 - m_b} ) - g \cdot t_b [/latex] [latex]v_b = 7,261 \frac{m}{s} [/latex] [b]Steighöhe[/b] [latex]h(t) =\int_0^{t_b} \! v(t) \,\cdot \dd t[/latex] [latex]h(t_b) = \frac{F_s}{\dot{m} }\cdot \frac{(m_0-\dot{m}\cdot t_b)\cdot \ln(\frac{m_0}{m_0-\dot{m}\cdot t_b }) -\dot{m}\cdot t_b }{\dot{m} } )- \frac{1}{2}\cdot g\cdot t_b^{2}[/latex] [latex]h(t_b) = 27,053 m [/latex][/quote]
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Mathefix
Verfasst am: 13. Nov 2017 19:34
Titel:
Herleitung über Massen- und Impulsbilanz
1. Massenbilanz
= Massenstrom
2. Impulsbilanz
Die Masse verringert sich um dm.
Das Masseteilchen wird mit der Geschwindigkeit c ausgestossen.
Auf die Rakete wirkt die Impulsänderung
Steiggeschwindigkeit
Berücksichtigung Erdbeschleunigung
Aus Massenbilanz
Bestimmung Massenstrom und Austrittsgeschwindigkeit
Schubkraft
Bei Brennschluss gilt
Steighöhe
Croomer
Verfasst am: 12. Nov 2017 17:42
Titel: Modellrakete
Meine Frage:
Eine kleine Modellrakete hat beim Start eine Gesamtmasse m_0 =0,20 kg. Darin ist die Masse des Treibsatzes m_B=20 g enthalten. Das Triebwerk entwickelt 10 s lang eine konstante Schubkraft von F_schub = 2,0 N, d.h. der Treibsatz brennt innerhalb von 10 s gleichmäßig ab. Wie hoch ist die Rakete nach 10 s und welche Geschwindigkeit hat sie erreicht, wenn sie senkrecht hochsteigt? Erstellen Sie die numerische Lösung mit Newton II und einen Ausdruck mit Geschwindigkeit- und Orts-Zeit-Diagramm.
Meine Ideen:
Für die Software Newton 2 braucht man die Beschläunigungsgleichung und man muss die Größen der Gleichung definieren.
Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich diese richtig aufgestellt habe:
Allgemein ist a=F/m
Bei dieser Aufgabe ist F = F_schub - F_g mit
F_schub=2N (laut Angabe)
F_g= g * m
wobei g = 9,81 N/kg
und m = m_0 - (t*(m_B / 10))
mit m_0=0,2kg und m_B=0,02kg ist.
Stimmt das dann so, oder habe ich dabei irgendwas falsch aufgestellt oder vergessen?
Als Lösung hätte ich damit dann:
s(10s)=27,053 m
v(10s)=7,261 m/s
Würde mich freuen, wenn jemand mich korrigieren könnte - oder eben bestätigt, dass das richtig ist.