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[quote="quantum2018"][b]Meine Frage:[/b] Hallo zusammen! Ich suche nach Hilfe bei folgender Aufgabe: Beweisen Sie die Orthogonalitätsrelation fur Wigner-D Matrizen: [latex]\int \! [D_{m_1' m_1}^{l_1}]^* D_{m_2' m_2}^{l_2} \, \dd ^3 r = \frac{8 \pi^2}{2 l_1 + 1} \delta_{m_1 m_2} \delta_{m_1' m_2'} \delta_{l_1 l_2} [/latex] [b]Meine Ideen:[/b] Mein Ansatz ist folgender: Erstmal kann ich das integral in Kugelkoordinaten umschreiben zu: [latex]\int \! [D_{m_1' m_1}^{l_1}]^* D_{m_2' m_2}^{l_2} \, \sin(\theta) \dd\phi\dd\theta\dd\chi [/latex] Unser Prof. meinte, man könne mit folgenden zwei Gleichungen, das Problem lösen: [latex]D_{m_1' m_1}^{j_1} D_{m_2' m_2}^{j_2} = \sum\limits_{JMM'} \left< j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \right> \left< j_1 m_1' j_2 m_2' | J M' \right> D_{M'M}^J[/latex] und [latex]D_{m 0}^{j} = \sqrt{\frac{4 \pi}{2 j+1}} Y_{jm}^* (\theta \phi) [/latex] wobei Y die Kugelflächenfunktionen beschreibt. Damit ich erste Gleichung nutzen kann, muss ich ja erstmal die Komplexe Konjugation loswerden. Ich nutze aus, dass gilt [latex]{D_{m' m}^{j}}^* = (-1)^{m'-m} D_{-m'-m}^j [/latex] Setze ich das in die Ausgangsgleichung ein und benutze die erste Gleichung aus der Vorlesung, kommt man auf [latex]\int \! (-1)^{m_1'-m_1} \sum\limits_{JMM'} \left< j_1 -m_1 j_2 m_2 | J M \right> \left< j_1 -m_1' j_2 m_2' | J M' \right> D_{M'M}^J \, \sin(\theta) \dd\phi\dd\theta\dd\chi[/latex] Hier weiß ich nun leider nicht weiter. Irgendwie muss ich ja noch die zweite Formel aus der Virlesung mit den Kugelflächenfunktionen benutzen. Aber diese gilt ja nur für den Spezialfall, dass m=0 ist. Ich habe jetzt zwei Clebsch-Gordan-Koeffizienten in der Summe stehen, aber keinen Schimmer, wie ich weiter machen soll... Ich bin für jeden Rat dankbar![/quote]
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quantum2018
Verfasst am: 13. Nov 2017 19:16
Titel: QM II - Orthogonalität der Wigner-D Matrizen
Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich suche nach Hilfe bei folgender Aufgabe:
Beweisen Sie die Orthogonalitätsrelation fur Wigner-D Matrizen:
Meine Ideen:
Mein Ansatz ist folgender:
Erstmal kann ich das integral in Kugelkoordinaten umschreiben zu:
Unser Prof. meinte, man könne mit folgenden zwei Gleichungen, das Problem lösen:
und
wobei Y die Kugelflächenfunktionen beschreibt. Damit ich erste Gleichung nutzen kann, muss ich ja erstmal die Komplexe Konjugation loswerden. Ich nutze aus, dass gilt
Setze ich das in die Ausgangsgleichung ein und benutze die erste Gleichung aus der Vorlesung, kommt man auf
Hier weiß ich nun leider nicht weiter. Irgendwie muss ich ja noch die zweite Formel aus der Virlesung mit den Kugelflächenfunktionen benutzen. Aber diese gilt ja nur für den Spezialfall, dass m=0 ist.
Ich habe jetzt zwei Clebsch-Gordan-Koeffizienten in der Summe stehen, aber keinen Schimmer, wie ich weiter machen soll...
Ich bin für jeden Rat dankbar!