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[quote="Optiker"]Hallo, Ich habe eine Frage zur Quantenmechanik und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Folgendes Problem liegt vor: Man betrachte ein Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf, d.h. es liegt ein Potential der Form [latex] V(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \in [-L,L] \\ \infty & \text{sonst }\\ \end{cases} [/latex] Die Lösung der Schrödingergleichung [latex] H \psi (x) = E \psi (x) [/latex] konstruiere ich mit dem Ansatz: [latex] \psi (x) = A \cdot cos(kx) + B \cdot sin(kx) [/latex] wobei [latex] k^2 = \frac{2mE}{h^2} [/latex] Meine Anfangsbedingungen [latex] \psi (-L) = \psi (L) = 0 [/latex] geben mir nun aber zwei Lösungen aus. Die erste Lösung: [latex] \psi_1 (x) = A \cdot cos(\frac{\pi}{L}(n - \frac{1}{2})x) [/latex] mit Energien [latex] E_n = \frac{h^2 \pi^2 (n - 1/2)^2}{2mL^2} [/latex] und die zweite Lösung [latex] \psi_2 (x) = B \cdot sin(\frac{\pi n}{L}x) [/latex] mit Energien [latex] E_n = \frac{h^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} [/latex] Jetzt habe ich beide Lösungen, die Linearkombination dieser Lösung ist aber doch keine (!) Lösung, weil die Energien sich da "spießen" würden (oder?). Die Frage ist nun, welche dieser beiden Lösungen nehme ich zur weiteren Rechnung? Ist die Schrödingergleichung bzgl. ihrer Lösungen nicht eindeutig? Weiß jemand weiter? MfG Optiker[/quote]
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Optiker
Verfasst am: 04. Okt 2017 23:07
Titel:
Aha, das heißt, wenn ich die Zustände in dem System, in dem der Topf zwischen
liegt, der Energie nach ordnen will, dann wechseln sich die Energieeigenfunktionen bzw. die Energieniveaus ab, d.h. die niedrigste Energie ist die "Cosinus Energie" mit
, die zweit-niedrigste Energie ist die "Sinus Energie" mit
, die nächst-höhere Energie ist jene für den Cosinus mit
, usw. ... Das ist tatsächlich lästig
Aber ich denke, ich habe es nun verstanden, danke vielmals für deine Hilfe!
MfG
Optiker
TomS
Verfasst am: 04. Okt 2017 07:05
Titel:
Generell ist die Betrachtung für [-L,+L] lästig, weil man mit zwei verschiedenen Funktionssystemen arbeiten muss. Schau dir doch mal die Lösung in y=x+L auf [-0,2L] an; dabei tritt ausschließlich der Sinus auf.
Zur Linearkombination: du konstruierst letztlich unendlich viele Lösungen. Aus diesen kannst du dann durch Superposition jede
zulässige
Funktion im Topf konstruieren, wobei diese Superpositionen i.A.
keine
Eigenfunktionen zu H mehr sind (auch eine Linearkombination verschiedener Sinusterme wäre keine Lösung). Aber jede einzelne Funktion und damit jeder einzelne Sinus- bzw. Cosinusterm für sich genommen ist jeweils eine Lösung. D.h. du setzt entweder A=0 oder B=0, und alles ist gut.
Optiker
Verfasst am: 04. Okt 2017 01:48
Titel: Teilchen im Topf
Hallo,
Ich habe eine Frage zur Quantenmechanik und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Folgendes Problem liegt vor:
Man betrachte ein Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf, d.h. es liegt ein Potential der Form
Die Lösung der Schrödingergleichung
konstruiere ich mit dem Ansatz:
wobei
Meine Anfangsbedingungen
geben mir nun aber zwei Lösungen aus. Die erste Lösung:
mit Energien
und die zweite Lösung
mit Energien
Jetzt habe ich beide Lösungen, die Linearkombination dieser Lösung ist aber doch keine (!) Lösung, weil die Energien sich da "spießen" würden (oder?). Die Frage ist nun, welche dieser beiden Lösungen nehme ich zur weiteren Rechnung? Ist die Schrödingergleichung bzgl. ihrer Lösungen nicht eindeutig?
Weiß jemand weiter?
MfG
Optiker