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[quote="PHBU"]Hallo Forumnutzer, ich habe Probleme beim Integrieren der Langrange-Funktion L. Laut partieller Integration gilt ja: [latex]\int f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\,\mathrm dx=F\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int F\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)\,\mathrm dx[/latex] Die Integration der Langrange-Formel bereitet mir allerdings Probleme. [latex]L=E_\mathrm{kin}-E_\mathrm{pot}=\dfrac12mv^2-mgx=\dfrac12m\dot x^2-mgx[/latex] [latex]S=\int L\,\mathrm dt=\int\dfrac12m\dot x^2-mgx\,\mathrm dt=\dfrac12m\int\dot x^2\,\mathrm dt-mgxt=\dfrac12m\left(x\dot x-\int x\ddot x\,\mathrm dt\right)-mgxt=?[/latex] Ich bin unfähig, den Term weiter zu vereinfachen. Wie müsste man nun weiter vorgehen? Oder ist partielle Integration gar der falsche Weg? Danke im Voraus! Mit freundlichen Grüßen PHBU[/quote]
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index_razor
Verfasst am: 12. Aug 2017 16:18
Titel: Re: Die Bewegung eines freien Teilchen
PHBU hat Folgendes geschrieben:
Doch was sagt mir diese Wirkung konkret?
Den Zahlenwert dieser Wirkung auszurechnen ist m.E. nicht besonders relevant. Die für die Mechanik wichtigen Eigenschaften folgen eher aus der
Änderungen
der Wirkung in Bezug auf bestimmte Parameter. Zum Beispiel:
1) Sind die physikalischen Bahnkurven stationäre Punkte der Wirkung, d.h. ist
eine Lösung der Bewegungsgleichungen mit vorgegebenen Randbedingungen
für die Zeiten
, dann ist für jede Kurve
, mit
denselben
Randbedingungen, die Änderung
von mindestens zweiter Ordnung in
. Wichtig ist das deshalb, weil du daraus die Bewegungsgleichungen, die x(t) erfüllen muß, aus der Bedingung
erhältst, d.h. du betrachtest die Änderung von S in
um
und setzt den linearen Term gleich null.
2) Gehört zu jeder Symmetrie der Wirkung ein Erhaltungssatz. Hierzu geht man nicht von einer konkreten Lösung x(t) aus, sondern betrachtet allgemeine parametrisierte Transformationen
des Ortes (und evtl. der Zeit) und untersucht, welchen Einfluß diese auf S[x] für
beliebige
Kurven x(t) haben. Wenn sich S gar nicht oder nur unwesentlich ändert, folgt daraus ein Erhaltungssatz. (Das ist im wesentlichen das Noether-Theorem.)
Offensichtlich geht es dir hier um diesen Fall, genauer gesagt um den Zusammenhang zwischen Symmetrie und Impulserhatung?
Diese folgt allgemein aus der Translationsinvarianz der Wirkung. Man betrachtet also die Transformation
, mit konstantem (d.h. nicht x- oder t-abhängigem)
. Wie ändert sich nun
unter dieser Transformation? Die Geschwindigkeit ändert sich nicht, also wird jede Änderung durch das Potential bewirkt, d.h.
wobei ... Änderungen von mindestens zweiter Ordnung in
bedeuten. Also gilt
Nun ist aber
genau die Kraft auf das Teilchen am Ort x. Also ändert sich die Wirkung nicht unter Ortstranslationen, wenn
. Damit folgt aber aus dem 2. Newtonschen Axiom
also die Impulserhaltung.
TomS
Verfasst am: 12. Aug 2017 16:16
Titel:
Die Wirkung S ist ein Funktional, das der Funktion x(t) sowie deren Ableitung eine reelle Zahl zuordnet. D.h.
Offensichtlich lassen sich alle bekannten Theorien so formulieren, dass die klassischen Bewegungsgleichungen aus der Variation der Wirkung S nach x(t) sowie der Ableitung folgen: die klassischen Trajektorien entsprechen gerade den Trajektorien minimaler Wirkung für die die Variation der Wirkung verschwindet
Die Berechnung der Variation führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen.
PHBU
Verfasst am: 12. Aug 2017 11:29
Titel: Die Bewegung eines freien Teilchen
Hallo index_razor,
danke für Deine Antwort.
Die Konkretisierung des Falles ist hier tatsächlich sinnvoller -- mein Fehler.
Ich bin Neuling in Sachen Lagrange-Formalismus und, um ehrlich zu sein, verstehe ich noch nicht ganz den Sinn, die Idee hinter der physikalischen Wirkung S. Bezüglich der Einheiten integriere ich Energie E bzw. L nach einer Zeit t, also den Impuls p nach der Weglänge x. Doch was sagt mir diese Wirkung konkret?
Im Anhang kann man sich den Kontext erschließen. Es geht um ein massenbehaftetes bewegtes Teilchens im potenzialfreien Raum, d.h.
g=0
. Was sagt mir hier die Wirkung und wie rechnen ich für diesen konkreten Fall diese aus (s. Gleichung (1))?
Mit freundlichen Grüßen
PHBU
index_razor
Verfasst am: 12. Aug 2017 11:09
Titel: Re: physikalische Wirkung / Lagrange-Formalismus
PHBU hat Folgendes geschrieben:
Die Integration der Langrange-Formel bereitet mir allerdings Probleme.
Das ist bereits falsch. x ist ja normalerweise eine Funktion der Zeit. Also ist das Integral über x nicht einfach xt.
Zitat:
Ich bin unfähig, den Term weiter zu vereinfachen. Wie müsste man nun weiter vorgehen? Oder ist partielle Integration gar der falsche Weg?
Das kommt darauf an, was du eigentlich vorhast. Das ist nicht so richtig ersichtlich.
Die Lagrangefunktion kann nicht nach t integriert werden, denn sie ist eine Funktion von Ort, Geschwindigkeit und Zeit. (In deinem konkreten Fall hat sie allerdings keine explizite Zeitabhängigkeit.) Du kannst natürlich die zusammengesetzte Funktion
nach t integrieren, aber dann benötigst du eine konkrete Lösung x(t) der Bewegungsgleichungen. Ansonsten ergibt deine Rechnung wenig Sinn.
Versuchst du vielleicht die Euler-Lagrange-Gleichungen abzuleiten? (Da kommt typischerweise eine partielle Integration vor.)
PHBU
Verfasst am: 12. Aug 2017 10:45
Titel: physikalische Wirkung / Lagrange-Formalismus
Hallo Forumnutzer,
ich habe Probleme beim Integrieren der Langrange-Funktion L. Laut partieller Integration gilt ja:
Die Integration der Langrange-Formel bereitet mir allerdings Probleme.
Ich bin unfähig, den Term weiter zu vereinfachen. Wie müsste man nun weiter vorgehen? Oder ist partielle Integration gar der falsche Weg?
Danke im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
PHBU