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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="index_razor"]Die Prozedur, die du beschreibst reduziert ein Zweikörperproblem auf ein Einkörperproblem eines Teilchens in einem äußeren Feld.  Letzteres ist im allgemeinen natürlich viel leichter zu lösen, weil es nur halb so viele Freiheitsgrade besitzt.  Dies funktioniert, weil die Schwerpunktsbewegung des Systems völlig unabhängig von der Relativbewegung der beiden Teilchen abläuft und noch dazu völlig trivial ist.

Als Beispiel kannst du zwei Körper betrachten, die sich gegenseitig gravitativ anziehen.  Das Kraftgesetz lautet

[latex]F_{12}=\frac{m_1 m_2}{|r_1 -  r_2|^3}(r_1 - r_2) = -F_{21}[/latex]

und die Bewegungsgleichungen lauten

[latex]\ddot r_1 = \frac{m_2}{|r_1 - r_2|^3}(r_2 - r_1)\qquad (1)[/latex]

sowie

[latex]\ddot r_2 = \frac{m_1}{|r_1 - r_2|^3}(r_1 - r_2).\qquad (2)[/latex]

Diese sind gekoppelt, in dem Sinne, daß [latex]r_2[/latex] in der Gleichung für [latex]r_1[/latex] vorkommt und umgekehrt.  Man erhält die Gleichung für die Relativbewegung, wenn man den Vektor [latex]r = r_1 - r_2[/latex] definiert.

[latex]\ddot r = \ddot r_1 - \ddot r_2 = -\frac{r}{|r|^3} (m_1 + m_2)[/latex]

d.h.

[latex]\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\ddot r = -\frac{m_1 m_2}{|r|^3}r=- F_{12}[/latex]

Dies ist dieselbe Gleichung, der ein einzelnes Teilchen mit Masse [latex]\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}[/latex] gehorchen würde, welches aus dem Ursprung [latex]r=0[/latex] mit der Kraft [latex]|F_{12}|[/latex] angezogen würde.

Die Frage ist noch, was die Lösung dieser Gleichung mit dem urpsrünglichen Problem (1) und (2) zu tun hat.  Dazu kann man zunächst beobachten, daß aus den beiden Gleichungen folgt, daß der Schwerpunkt

[latex]R = \frac{1}{m_1 + m_2}(m_1 r_1 + m_2 r_2)[/latex]

eine reine Trägheitsbewegung ausführt, d.h.

[latex](m_1 + m_2)\ddot R = m_1\ddot r_1 + m_2\ddot r_2 = F_{21} + F_{12}= 0,[/latex]

d.h. es gilt einfach [latex]R(t)=R(0) + t\dot R(0)[/latex].  Man hat nun also Lösungen für die Schwerpunkts- und die Relativbewegung.  Daraus kann man jede der beiden Bahnkurven [latex]r_{1/2}(t)[/latex] konstruieren, bspw.

[latex]r_1 = R + \frac{m_2}{m_1 + m_2}r. [/latex]

etc.[/quote]

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