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[quote="Anonymunterwegs"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, ich habe hier eine homogen geladene Hohlkugel mit einem Außenradius R_a und einem Innenradius R_i. In der Kugel sitzt außerdem noch eine Ladung von +Q/2. Zudem sei die Ladungsdichte p zwischen R_a und R_i konstant. Die Gesamtladung von R_a und R_i ist +Q. Jetzt möchte ich den Verlauf eines Graphen bestimmen von: 1.Der Raumladungsdichte p 2.Der eingeschlossenen Ladung 3.Des elektrischen Feldes für die Bereiche i)r<R_i, ii) R_i<r<R_a, iii) r > R_a [b]Meine Ideen:[/b] 1.) So zuerst zur Ladungsdichte. Also wir haben im Inneren nur eine Punktladung sitzen. Für r < R_i ist die Raumladungsdichte = 0. Für R_i < r < R_a ist die Ladungsdichte konstant wie in der Aufgabenstellung. Und außerhalb der Hohlkugel ist sie ebenfalls = 0. 2.) Nun zur eingeschlossenen Ladung. Für i) ist diese einfach = +Q/2. Außerhalb der Hohlkugel ist die eingeschlossene Ladung +Q/2 + Q. Für R_i < r < R_a gilt: [latex] Q_{ein}=p*V_{ein}\qquad V_{ein}=4/3\pi*(r^3-R_i^3) \qquad p=Q/V \qquad p=\frac{3Q}{4\pi*(R_a^3-R_i^3)}[/latex] [latex]4/3\pi*(r^3-R_i^3)*\frac{3Q}{4\pi*(R_a^3-R_i^3)}=Q_{ein}[/latex] Das ist halt die eingeschlossene Gesamtladung einer Gaußschen Fläche im Bereich zwischen R_a und R_i. Q_ein wäre dann proportional zu r^3 solange bis r=R_a und dann halt konstant. Oh ich seh gerade müsste dann noch +Q/2 dazu addieren damit es passt wegen der Ladung im Zentrum. Denke bis dahin ist alles soweit in Ordnung? Nun zum E-Feld: i) r>R_a Gaußscher Satz vereinfacht sich wegen der Parallelität von dA und E und dem Fakt, dass E aufgrund der sphärischen Symmetrie nur von der radialen Richtung abhängt zu : [latex]e_0*E*4\pi(r^2-R_i^2)= +Q + Q/2\qquad E(r)= \frac{3Q}{e_0*8\pi*(r^2-R_i^2)}[/latex] Außerhalb ist das E-Feld also proportional zu 1/r^2. ii) R_i < r < R_i [latex]Q_{ein}=Q*\frac{(r^3-R_i^3)}{R_a^3-R_i^3}\qquad E(r)=\frac{Q}{4\pi*(r^2-R_i^2)}*\frac{(r^3-R_i^3)}{(R_a^3-R_i^3)}[/latex] Doofe Frage aber lässt sich hier irgendwas kürzen? Das r beispielsweise ? Und wäre das E-Feld in diesem Bereich damit also annähernd proportional zu r und damit linear abhängig? Bin mir hier noch unsicher ... Für iii) r<R_i bin ich mir jedoch sicher, dass es die selbe Situation wie außerhalb ist wegen der Punktladung. Das E-Feld nimmt ab mit 1/r^2, steigt dann nach meiner Annahme linear an bis zum äußeren Rand und nimmt dort wieder mit 1/r^2 ab. Glaube hier sind aber noch einige Denkfehler und eventuell fehlerhafte Rechnungen dabei. Wäre sehr nett wenn hier jemand drüberschauen könnte :)[/quote]
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Anonymunterwegs
Verfasst am: 25. Jul 2017 22:52
Titel: Kugelschale Innen und Außenradius
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier eine homogen geladene Hohlkugel mit einem Außenradius R_a und einem Innenradius R_i. In der Kugel sitzt außerdem noch eine Ladung von +Q/2.
Zudem sei die Ladungsdichte p zwischen R_a und R_i konstant. Die Gesamtladung von R_a und R_i ist +Q.
Jetzt möchte ich den Verlauf eines Graphen bestimmen von:
1.Der Raumladungsdichte p
2.Der eingeschlossenen Ladung
3.Des elektrischen Feldes
für die Bereiche i)r<R_i, ii) R_i<r<R_a, iii) r > R_a
Meine Ideen:
1.)
So zuerst zur Ladungsdichte. Also wir haben im Inneren nur eine Punktladung sitzen. Für r < R_i ist die Raumladungsdichte = 0. Für R_i < r < R_a ist die Ladungsdichte konstant wie in der Aufgabenstellung. Und außerhalb der Hohlkugel ist sie ebenfalls = 0.
2.) Nun zur eingeschlossenen Ladung. Für i) ist diese einfach = +Q/2.
Außerhalb der Hohlkugel ist die eingeschlossene Ladung +Q/2 + Q.
Für R_i < r < R_a gilt:
Das ist halt die eingeschlossene Gesamtladung einer Gaußschen Fläche im Bereich zwischen R_a und R_i. Q_ein wäre dann proportional zu r^3 solange bis r=R_a und dann halt konstant. Oh ich seh gerade müsste dann noch +Q/2 dazu addieren damit es passt wegen der Ladung im Zentrum.
Denke bis dahin ist alles soweit in Ordnung?
Nun zum E-Feld:
i) r>R_a
Gaußscher Satz vereinfacht sich wegen der Parallelität von dA und E und dem Fakt, dass E aufgrund der sphärischen Symmetrie nur von der radialen Richtung abhängt zu :
Außerhalb ist das E-Feld also proportional zu 1/r^2.
ii) R_i < r < R_i
Doofe Frage aber lässt sich hier irgendwas kürzen? Das r beispielsweise ? Und wäre das E-Feld in diesem Bereich damit also annähernd proportional zu r und damit linear abhängig? Bin mir hier noch unsicher ...
Für iii) r<R_i bin ich mir jedoch sicher, dass es die selbe Situation wie außerhalb ist wegen der Punktladung. Das E-Feld nimmt ab mit 1/r^2, steigt dann nach meiner Annahme linear an bis zum äußeren Rand und nimmt dort wieder mit 1/r^2 ab.
Glaube hier sind aber noch einige Denkfehler und eventuell fehlerhafte Rechnungen dabei. Wäre sehr nett wenn hier jemand drüberschauen könnte