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So gehts:
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[quote="Heisenberg93"]Guten Abend zs, ein Teilchen bewege sich in einer räumlichen Dimension im Potential [latex]V(x) = \infty \quad, |x| \geq \frac{a}{2} \quad \land \quad V(x) =\epsilon x \quad,x<\frac{a}{2}[/latex] mit [latex]a>0,\epsilon>0[/latex] und [latex]\epsilon x[/latex] hinreichend klein, sodass der Term als Störung aufgefasst werden kann. 1) Berechnen Sie die Korrektur zu den Energieeigenwerten in erster Ordnung (Hinweis: Nutzen sie die Symmetrie des Problems aus) 2) Berechnen Sie soweit möglich, die Verschiebung der Grundzustandsenergie in zweiter Ordnung Mein Ansatz: 1) Ich habe mir das Potential hingezeichnet, sehe aber nicht, wie mir die Symmetrie weiterhelfen soll. Ich würde die Energiekorrektur erster Ordnung mit der allg. Formel [latex]E_j^{(1)}= <j^{(0)}|V|j^{(0)}> = \epsilon \int_\mathbb{R} j^*x j dx[/latex] bestimmen, wobei [latex]|j^{(0)}>[/latex] der Eigenzustand zum Eigenwert [latex]E_j^{(0)}[/latex](also die Lsg. für den ungestörten Hamiltonoperator) ist. 2) Kann ich hier auch die Symmetrie benutzen oder wie bestimme ich ansonsten die Energiekorrektur zweiter Ordnung?[/quote]
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TomS
Verfasst am: 15. Jul 2017 08:54
Titel:
Jedenfalls muss man die Matrixelemente mal konkret berechnen, um etwas über die Summe sagen zu können
benruzzer
Verfasst am: 11. Jul 2017 22:41
Titel:
Die Summe kann allgemein für gerade m (Schreibweise z.B 2k) aufgestellt werden. Dann kann man das Integral für das Matrixelement "<1|V|2k>" lösen (Es soll ja die Energiekorrektur vom Grundzustand berechnet werden). Die Summe über alle k bricht nicht ab, konvergiert jedoch (hoffentlich
).
Heisenberg93
Verfasst am: 11. Jul 2017 08:58
Titel:
Zitat:
Ich integriere von -a/2 bis a/2 und habe im Integranden mit
immer eine ungerade Funktion stehen (für alle m).
ist abwechselnd gerade oder ungerade (je nach dem ob m ungerade oder ungerade ist).
(also konstant)
Wenn
gerade ist (d.h. m ungerade), verschwindet also das Integral. Damit kann ich die Summe umschreiben.
Aber ich sehe trotzdem nicht, wie mir das weiterhelfen soll, falls meine Idee überhaupt richtig ist..
TomS
Verfasst am: 08. Jul 2017 11:54
Titel:
Anders formuliert:
Du solltest dir die Bedeutung der bra-Ket-Notation nochmal klarmachen. Dazu gehört auch die Herleitung meiner Umformung, warum nämlich das "=" gilt; Hinweise siehe Beitrag von benruzzer.
benruzzer
Verfasst am: 08. Jul 2017 11:25
Titel:
In dieser Schreibweise ist V für sich zunächst basisunabhängig und muss durch einfügen von zwei mal x-"1" links und rechts von V in die Ortsdarstellung bebracht werden. Das führt zu einem Integral, wodurch du x nicht einfach aus dem Matrixelement ziehen kannst
Heisenberg93
Verfasst am: 08. Jul 2017 11:19
Titel:
Hallo Toms,
meine Rechnung sieht wie folgt aus:
In der vorletzten Gleichheit habe ich verwendet, dass
ein vollständiges Orthonormalsystem bildet.
Ist das korrekt oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht?
TomS
Verfasst am: 07. Jul 2017 22:45
Titel:
Wie sieht denn deine Berechnung der einzelnen Matrixelemente in der Summe aus?
Heisenberg93
Verfasst am: 07. Jul 2017 17:01
Titel:
Ich habe versucht, die Summe mithilfe der Orthogonalität aufzulösen, klappt aber leider nicht.
Hat vielleicht jemand von euch eine Idee oder sieht den " Trick " wie man die Summe auflösen kann?
Die Eigenwerte und Eigenzustände des ungestörten Hamiltonoperators sind
benruzzer
Verfasst am: 07. Jul 2017 16:28
Titel:
Prinzipiell über die hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/St%C3%B6rungstheorie_(Quantenmechanik)#Energiekorrektur_zweiter_Ordnung
beschriebene Formel. Die Auswertung der Summe könnte man mal über partielle Integration und Orthogonalitätsargumente versuchen zu knacken
Heisenberg93
Verfasst am: 07. Jul 2017 16:08
Titel:
Stimmt und da ich über eine ungerade Funktion mit periodischen Intervallgrenzen integriere, erhalte ich jeweils 0 für die Energie Korrekturen erster Ordnung.
Weißt du wie ich die Energiekorrekturen zweiter Ordnung bestimme?
benruzzer
Verfasst am: 06. Jul 2017 21:02
Titel:
Du musst nicht über den gesamten Raum integrieren sondern von -a/2 bis +a/2, da die Wellenfunktion ja nur in diesem Bereich proportional zum Sinus bzw. Cosinus ist und außerhalb Null. Die gesamte Wellenfunktion müsste eigentlich mit Sprungfunktionen zusammengebastelt werden, was die Integrationsgrenzen deutlich macht.
Heisenberg93
Verfasst am: 06. Jul 2017 19:37
Titel:
Anmerkung zu 1)
Die stationären Lösungen des ungestörten Hamiltonoperators sind cos- oder sinus-Funktion, je nach dem ob die Quantenzahl ungerade oder gerade ist.
D.h. ich muss der Integrale der Form
ausrechnen. Ich habe es mit partieller Integration versucht, komme aber nicht weit. Sind diese Integrale überhaupt wohldefiniert?
Heisenberg93
Verfasst am: 06. Jul 2017 18:59
Titel: Störungstheorie
Guten Abend zs,
ein Teilchen bewege sich in einer räumlichen Dimension im Potential
mit
und
hinreichend klein, sodass der Term als Störung aufgefasst werden kann.
1) Berechnen Sie die Korrektur zu den Energieeigenwerten in erster Ordnung (Hinweis: Nutzen sie die Symmetrie des Problems aus)
2) Berechnen Sie soweit möglich, die Verschiebung der Grundzustandsenergie in zweiter Ordnung
Mein Ansatz:
1) Ich habe mir das Potential hingezeichnet, sehe aber nicht, wie mir die Symmetrie weiterhelfen soll.
Ich würde die Energiekorrektur erster Ordnung mit der allg. Formel
bestimmen, wobei
der Eigenzustand zum Eigenwert
(also die Lsg. für den ungestörten Hamiltonoperator) ist.
2) Kann ich hier auch die Symmetrie benutzen oder wie bestimme ich ansonsten die Energiekorrektur zweiter Ordnung?