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[quote="para"]Hallo, ich hab' hier grad' mal wieder 'ne Aufgabe zu der mir noch etwas der zündende Gedanke fehlt. Vielleicht hat ja wieder jemand 'ne schöne Idee. :) Erster Schritt: gegeben ist eine dünne metallische Hohlkugel mit dem Radius r, die die Ladung Q trägt. Man sägt diese jetzt entlang einer Ebene durch den Mittelpunkt auseinander. Welche Kraft wird daraufhin benötigt, beide Teile zusammenzuhalten? Zweiter Schritt: wie sieht das ganze aus, wenn die Schnittebene nicht durch den Mittelpunkt sondern im Abstand s von diesem verläuft? Aber zunächst würde mich erstmal nur der Trick oder der Ansatz hinter dem ersten Schritt interessieren. Die Ladung der beiden Halbkugeln ist ja dann einfach Q/2, aber alle Einzelkräfte aufzusummieren erscheint mir etwas aufwändig, zumal das im zweiten Schritt ja nicht besser wird. Danke schonmal, para[/quote]
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para
Verfasst am: 12. März 2006 13:23
Titel:
schnudl hat Folgendes geschrieben:
Naja - ich hoffe Du fühlst Dich nun nicht gefrotzelt weil Dir das auch eingefallen wäre (es ist wie gesagt eher trivial und nicht sehr trickreich) - aber immerhin bekommt man relativ einfach eine Lösung
Gefrotzelt? -
(erstmal in den Duden schauen ;-))
- Nein, keinesfalls. Mein Ansatz wäre darüber gegangen irgendwie die Coulomb-Kräfte der Kugelschichten auf ein Flächenelemente aufzuintegrieren und so auf die Oberflächenspannung zu schließen (bzw. das Ganze wie den Druck eines Gases in der Kugel zu betrachten). Der Ansatz über die Feldenergie ist da schon wesentlich genialer.
Immer wieder schön solche Aufgaben so elegant gelöst zu sehen.
schnudl hat Folgendes geschrieben:
Naja - jetzt gehts ab zu was anderem ...
Danke für den schönen Lösungsweg. Ich hoffe das 'andere' hat auch Spaß gemacht.
schnudl
Verfasst am: 11. März 2006 21:24
Titel:
Naja - ich hoffe Du fühlst Dich nun nicht gefrotzelt weil Dir das auch eingefallen wäre (es ist wie gesagt eher trivial und nicht sehr trickreich) - aber immerhin bekommt man relativ einfach eine Lösung:
Zunächst mal wirkt auf jedes Flächenelement der Kugel eine gewisse
Oberflächenspannung
, da die Ladungen ja nach aussen "wollen".
Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist bekanntlich
Das Feld in Entfernung r vom Mittelpunkt der Kugel ist (ausserhalb; innen ists ja Null)
Die Energiedichte daher
Ausummiert über das Volumen von R bis Unendlich ergibt dies
Wird die Kugel
virtuell
vergrössert, so sinkt die Energie, was aber durch die Gesamtwirkung der Oberflächenspannung auf der Oberfläche erklärt wird:
Daher
Man braucht nun nur noch die Gesamtwirkung dieser Oberflächenspannung in z-Richtung zu integrieren (Oberflächenintegral auf Halbkugel):
Für den allgemeinen Fall integriert man dann eben nicht über die gesamte Halbkugel sondern
Nun bin ich zu faul für das Zusammenfassen, das Integral ist jedenfalls
Für den Fall (1) ist dies einfach 1/2...wodurch man die Lösung schon fast dortstehen hat
Naja - jetzt gehts ab zu was anderem ...
schnudl
Verfasst am: 11. März 2006 20:25
Titel:
Das ganze aufzusummieren ist zwar Knochenarbeit aber nicht wirklich "schwierig". Das sieht irgendwie nach einem Trick aus, aber ich habe eigentlich momentan keine Idee...
para
Verfasst am: 11. März 2006 12:27
Titel: elektrostatische Kraft einer Hohlkugel
Hallo,
ich hab' hier grad' mal wieder 'ne Aufgabe zu der mir noch etwas der zündende Gedanke fehlt. Vielleicht hat ja wieder jemand 'ne schöne Idee. :)
Erster Schritt: gegeben ist eine dünne metallische Hohlkugel mit dem Radius r, die die Ladung Q trägt. Man sägt diese jetzt entlang einer Ebene durch den Mittelpunkt auseinander. Welche Kraft wird daraufhin benötigt, beide Teile zusammenzuhalten?
Zweiter Schritt: wie sieht das ganze aus, wenn die Schnittebene nicht durch den Mittelpunkt sondern im Abstand s von diesem verläuft?
Aber zunächst würde mich erstmal nur der Trick oder der Ansatz hinter dem ersten Schritt interessieren. Die Ladung der beiden Halbkugeln ist ja dann einfach Q/2, aber alle Einzelkräfte aufzusummieren erscheint mir etwas aufwändig, zumal das im zweiten Schritt ja nicht besser wird.
Danke schonmal,
para