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[quote="ML"]Hallo, [quote="HilfeWirdBenötigt"] Es wär nett von euch, wenn ich mir Schritt für Schritt erklären könntet, wie man ohne besonderes Vorwissen auf die Herleitung kommt bzw. wenn ihr die Herleitung auch grafisch darstellen könntet :) [/quote] erfreulicherweise hat ein freundlicher Mensch das schon gemacht: https://de.wikipedia.org/wiki/Zentripetalkraft#Mathematische_Herleitung Viele Grüße Michael[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Apr 2017 10:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für eine Kreisbewegung mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{\omega}=const."> ergibt sich die Zentripetalbeschleunigung aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec v=\vec\omega\times\vec r"> noch kürzer: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec a=\vec\omega\times\dot{\vec r}=\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)\Rightarrow a=r\omega^2=\frac{v^2}{r}"> <br /> <br />da alle Vektoren in den Kreuzprodukten senkrecht aufeinander stehen. Aber zugegeben, das hat wahrscheinlich nicht mehr viel mit der Frage ganz am Anfang des Threads zu tun.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2017 23:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es gibt noch eine relativ einfache Herleitung, die nur die Ableitungsregeln der Vektorrechnung benötigt: Betrachte die Bewegung eines Massenpunktes mit konstantem Abstand vom Ursprung. Für diesen gilt zu allen Zeiten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{r}|^2 = \mathrm{const.}"> <br /> <br />Zweimaliges Ableiten nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t"> liefert mit der Produktregel <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}\cdot \vec{r} + v^2 =0."> <br /> <br />Da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 \geq 0">, muß <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}\cdot\vec{r}\leq 0"> sein, was bedeutet, daß der Winkel zwischen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}"> stets größer oder gleich 90° ist (beide Vektoren also bis auf die momentanen Ruhepunkte mehr oder weniger entgegengesetzt gerichtet sind). <br /> <br />Bis hierhin beschreibt die Gleichung noch allgemeine Bewegungen auf einer Kugeloberfläche. Erfolgt die Bewegung aber <span style="font-style: italic">gleichförmig</span> in der Ebene, gilt außerdem <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}\times\vec{v} = \rm{const.}"> <br /> <br />Leitet man dies wiederum nach der Zeit ab, folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}\times\vec{r}=0."> <br /> <br />Es sind <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}"> also antiparallel. Also gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}\cdot\vec{r} = -|\vec{a}||\vec{r}| = -v^2,"> <br /> <br />d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec{a}|=\frac{v^2}{|\vec{r}|}."></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2017 22:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eine kurze Herleitung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = \frac{\dd v}{\dd t} "> <br /> </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? = 0"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2017 22:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eine kurze Herleitung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = \frac{\dd v}{\dd t} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = r\cdot \omega "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_x = v \cdot \cos(\varphi ) = r\cdot \omega\cdot \cos(\omega\cdot t ) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_y = v \cdot \sin(\varphi ) = r\cdot \omega\cdot \sin(\omega\cdot t ) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_x = \frac{\dd v_x}{\dd t} = -r\cdot \omega ^{2} \sin(\omega\cdot t ) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_y = \frac{\dd v_y}{\dd t} = r\cdot \omega ^{2} \cos(\omega\cdot t )"> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = \sqrt{a_x^{2}+ a_y^{2} } = \sqrt{(-r)^{2}\cdot \omega ^{4}\cdot (\sin^{2}(\omega \cdot t) + \cos^{2}(\omega \cdot t) ) } <br /> "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a =r\cdot \omega ^{2} = \frac{v^{2} }{r} "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>ML</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Apr 2017 12:31<span class="gen"> </span> Titel: Re: Fragen bezogen auf die oben genannte Herleitung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>HilfeWirdBenötigt hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />1. Auf Wikipedia steht: „Der vom Objekt zurückgelegte Weg Δs […]“. Müsste der Logik nach müsste jedoch nicht Δs dem Kreisbogen von P1 zu P2 entsprechen? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, das ist richtig. Der Clou hierbei ist, dass bei kleinen (gegen null gehenden) Winkeln <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> der Kreisbogen und die direkte Verbindungsstrecke ineinander übergehen. <br /> <br />Kreisbogen: Länge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta s = \varphi \cdot r"> (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> im Bogenmaß) (*) <br /> <br />Verbindungsstrecke: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin(\varphi/2) = \frac{\frac{|\overline{S_1~S_2}|}{2}}{r}"> (**) <br /> <br />Wir können (**) umformen zu: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin(\varphi/2) \cdot 2r = |\overline{S_1~S_2}|"> <br /> <br />Mit der Näherung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin(x)\approx x"> (gültig für kleine x) können wir dann weiter rechnen: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi/2 \cdot 2r \approx |\overline{S_1~S_2}|"> <br />und somit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi \cdot r \approx |\overline{S_1~S_2}|"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />2. Warum wird durch die Zeitspanne Δt dividiert? Ich weiß natürlich, dass v=s/t ist, aber wie kann ich diesen Schritt alleine durch die garfische Darstellung erkennen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der Graphik kannst Du das nicht erkennen. Das Teilen wird deshalb gemacht, weil Du von der Geschwindigkeitsänderung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta v"> auf die Beschleunigung kommen willst. Also musst Du teilen. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = \frac{\Delta v}{\Delta t}"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">3. Was hat „Wird nun Δt hinreichend klein gewählt, so gilt: […]“ zu bedeuten? Was genau bedeutet „hinreichend klein“ für Δt, und warum gelten nur dann ein paar Sachverhalte?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Hinreichend klein bedeutet: Je kleiner man das Zeitintervall (und damit den zurückgelegten Winkel/Weg) macht, umso genauer gelten die genannten Zusammenhänge. Für ein unendlich kleines Zeitintervall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta t \to 0"> gelten die Zusammenhänge dann exakt. Das wird noch Thema der Differentialrechnung (Mathematik der Oberstufe der Schule) werden. Wenn Du noch keine Differentialrechnung hattest, ist das etwas schwer zu verstehen. <br /> <br /> <br />Viele Grüße <br />Michael</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>HilfeWirdBenötigt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Apr 2017 20:12<span class="gen"> </span> Titel: Fragen bezogen auf die oben genannte Herleitung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Könnte mir bitte noch jemand ein paar Fragen zum oben genannten Beitrag beantworten? Und zwar glaube ich, dass ich ein paar grundlegende Verständnisprobleme habe. <br /> <br />1. Auf Wikipedia steht: „Der vom Objekt zurückgelegte Weg Δs […]“. Müsste der Logik nach müsste jedoch nicht Δs dem Kreisbogen von P1 zu P2 entsprechen? Wie genau kann ich mir vorstellen, dass dies nicht der Fall ist? <br />2. Warum wird durch die Zeitspanne Δt dividiert? Ich weiß natürlich, dass v=s/t ist, aber wie kann ich diesen Schritt alleine durch die garfische Darstellung erkennen? <br />3. Was hat „Wird nun Δt hinreichend klein gewählt, so gilt: […]“ zu bedeuten? Was genau bedeutet „hinreichend klein“ für Δt, und warum gelten nur dann ein paar Sachverhalte?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>ML</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Apr 2017 00:22<span class="gen"> </span> Titel: Re: Herleitung der Zentripetalbeschleunigung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>HilfeWirdBenötigt hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Es wär nett von euch, wenn ich mir Schritt für Schritt erklären könntet, wie man ohne besonderes Vorwissen auf die Herleitung kommt bzw. wenn ihr die Herleitung auch grafisch darstellen könntet <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />erfreulicherweise hat ein freundlicher Mensch das schon gemacht: <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zentripetalkraft#Mathematische_Herleitung" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Zentripetalkraft#Mathematische_Herleitung</a> <br /> <br />Viele Grüße <br />Michael</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>HilfeWirdBenötigt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Apr 2017 22:34<span class="gen"> </span> Titel: Herleitung der Zentripetalbeschleunigung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Könnte mir bitte jemand erklären, wie ich die Zentripetalbeschleunigung herleite? Ich würde diese Herleitung wiederum für die Herleitung der Periodendauer eines Federpendels benötigen.<br /><br />Es wär nett von euch, wenn ich mir Schritt für Schritt erklären könntet, wie man ohne besonderes Vorwissen auf die Herleitung kommt bzw. wenn ihr die Herleitung auch grafisch darstellen könntet :)<br /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich hab leider keine vernünftigen Lösungsansätze, deswegen wär es nett von euch, wenn ihr alles Schritt für Schritt erklären könntet. <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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