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[quote="dummi"]Hallo! Ich habe eine kleine Frage zu der Herleitung des Zerfallsgesetzes. Wieso kann der Term plötzlich integriert werden? Ist das mal wieder so ein mathematischer Trick, den ich nicht kenne? Wie kommst du auf die Grenzen? Danke. =)[/quote]
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Gast
Verfasst am: 26. Feb 2006 14:40
Titel:
Auf den natürlichen Logarithmus kommt man durch Versuchswerte:
Man hat die Intensität der Gammastrahlung irgend eines Gammastrahlers im Vakuum bestimmt und grafisch dargestellt (X-Achse: t; Y-Achse Intensität d gammastrahlung). Dort ergab sich eine Kurve, ähnlich der einer Kondensatorentladung. Wenn man nun auf die Y-Achse den ln der Intensität aufträgt, so erhält man eine Gerade. Die Steigung ist die Zerfallskonstante lambda, der Y-Achsen-Abschnitt ist der Anfangswert n
null
. Daraus kann man dann die Geradegleichung aufstellen.
Und dann kommen die Schritte, die ich schon beschrieben habe: Man entlogarithmiert das Ganze und ersetzt im letzen Schritt die Intensität der Strahlung durch die Anzahl der Kerne, da diese ja proportional sind (beim Gammazerfall EINES Kerns wird eine bestimmte Menge Gammastrahlung emittiert).
Da viele bestimmt den Physik Metzler besitzen: Auf Seite 500 zw. in Kapitel 13.3.2 wird dies beschrieben.
as_string
Verfasst am: 26. Feb 2006 14:24
Titel:
Hallo!
Zwei Sachen dazu:
1. Man kann nur dann mit dem e-hoch arbeiten, wenn man das auf beiden Seiten macht. Deshalb hatte ich das erwähnt, dass da ja noch eine zweite Seite fehlen muß. Wenn Du nur einen Term hast, darfst Du natürlich nicht schreiben: ... = Term = e^Term = ..., sondern Du brauchst eine Gleichung, bei der steht: Term = andererTerm <=> e^Term = e^andererTerm, dann isses richtig. Du kannst also auf beide Seiten eine Funktion anwenden, so lange diese streng monoton steigend oder fallend ist (eigentlich genügt, dass es eine eindeutige Umkehrfunktion gibt, dass es also eine bijektive Funktion ist, aber ich will Dich nicht schocken), weil: Wenn die beiden Seiten einer Gleichung gleich sind, muß auch das Ergebnis der beiden Seiten gleich sein, wenn ich beide durch eine streng monotone Funktion geschickt habe. Das ist das selbe, wenn Du z. B. auf beiden Seiten eine Zahl addierst. Da ist die Funktion, die Du verwendest einfach irgendwas+c auf beiden Seiten, genau wie hier e^irgendwas. Ich schreibe das hier so ausführlich, damit Du wirklich verstehst, wie das im Detail funktioniert, weil es extrem wichtig ist und manchmal etwas unter den Tisch fällt in der Schule. Das ist nämlich auch der Grund dafür, warum man sehr vorsichtig sein muß, wenn man beide Seiten durch irgendetwas teilt. Bei irgendwas mal 1/c hast Du zwar auch eine bijektive Funktion, d. h. zu (fast) jedem x-Wert gibt es auch einen y-Wert und zu jedem y-Wert genau einen x-Wert, aber da muß man eben dann schon auf den Fall c=0 aufpassen. Und ganz vorsichtig muß man sein, wenn man beide Seiten mit einer Funktion wie dem Sinus verwurschtelt.
2. Deine Herleitung verstehe ich nur halbwegs. Das mit der Geradengleichung... naja ok. Aber wieso kommt man dann bei der Herleitung eigentlich auf den ln? Normalerweise schafft man das nur mit dem Lösen einer Differentialgleichung. Das ist hier ziemlich einfach, weil sie separabel und linear und nur 1.Grades ist etc. aber ganz ohne wüßte ich jetzt auch nicht, wie man das machen kann. Hast Du da noch mehr Infos? Würde mich interessieren...
Gruß
Marco
dummi
Verfasst am: 26. Feb 2006 12:27
Titel:
Du hast natürlich Recht, die andere Seite existtiert auch, aber da kann ich das selbst. Ich wollte euch ja nicht mit Arbeit überschütten.
Ich brauchte das, weil es auch noch einen zweiten Weg gibt, das Zerfallsgesetz herzuleiten. Man kann nämlich auch einfach die Veränderung Intensität der Gammastrahlung mit der Zeit beobachten, die ja proportional zu der Anzahl der zerfallenden Kerne ist. Man stellt die Geradengleichung ln{n} = -
lamda
t + ln{n
null.
} , entlogarithmiert das ganze und kann dann die kleinen
n
s als große
N
s schreiben. (weil, Gammastrahlung => vorhandene Kerne. Und schon hat man das Zerfallsgesetz ohne Integrale, die man ohne Mathe LK nicht versteht, hergeleitet.
Irgendwann, werde ich mir bestimmt diese tolle Schreibweise aneignen - irgendwann. =)
as_string
Verfasst am: 25. Feb 2006 23:10
Titel:
Hallo!
Also, irgendetwas kann an Deiner Frage nicht stimmen: Wahrscheinlich brauchst Du eine Gleichung und nicht nur einen Ausdruck, um das tun zu können. Hast Du uns die andere Seite der Gleichung vielleicht verschwiegen?
Ansonsten: Beide Seiten mit e^ schreiben, dann wird aus der Seite, die Du uns geschickt hast das hier:
Gruß
Marco
dummi
Verfasst am: 25. Feb 2006 20:58
Titel:
Und noch eine Frage:
Ich möchte gerne -
lambda
t + ln{n
null
} entlogarithmieren. Bitte schreibt mir nicht bloß das Ergebnis sondern auch die einzelnen Schritte - Ich habe nur nen Mathe GK ;-)
Vielen Dank!
dummi
Verfasst am: 25. Feb 2006 20:28
Titel:
Hallo!
Ich habe eine kleine Frage zu der Herleitung des Zerfallsgesetzes.
Wieso kann der Term plötzlich integriert werden? Ist das mal wieder so ein mathematischer Trick, den ich nicht kenne? Wie kommst du auf die Grenzen?
Danke. =)