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[quote="index_razor"][quote="Rudi92"][b]Meine Frage:[/b] Hallo, Ich stehe total auf dem Schlauch was Funktionalableitungen angeht. [/quote] Darüber mußt du dir wohl nicht weiter den Kopf zerbrechen. Eure Definition läßt m.E. einiges an Klarheit vermissen. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der aus dem endlichedimensionalen bekannten Ableitungsbegriffe. Die [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative]Frechet-Ableitung[/url] ist eine Verallgemeinerung des totalen Differentials auf beliebige vollständige normierte Räume, die [url=https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%A2teaux_derivative]Gateaux-Ableitung[/url] eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung. Eine davon ist höchstwahrscheinlich gemeint. Ich denke mit der Frechet-Ableitung kommt man als Physiker für die meisten Anwendungen wie z.B. der Variationsrechnung aus. Zumindest würde ich sagen, ist der Begriff für das von dir betrachtete Funktional [latex]F:\phi\mapsto \phi(x)^2[/latex] vollkommen ausreichend, ohne daß man sich dabei irgendwie mit [latex]\delta[/latex]-Distributionen verrenken muß. Von der Frage, was die punktweise Addition einer Funktion [latex]\phi[/latex] mit der "Deltafunktion", wie in [latex]\phi(x)+\epsilon\delta(y-x)[/latex] überhaupt bedeuten soll, kann man dann ohne weiteres absehen. (Das erscheint mir auch überhaupt nicht so offensichtlich zu sein.) In diesem Sinne (Frechet) ist die "Ableitung von [latex]F[/latex] nach [latex]\phi[/latex]" nichts anderes als der lineare Term der Änderung von F in [latex]\phi[/latex], d.h. um die Ableitung (das Differential) zu bestimmen, berechnest du also [latex]F[\phi + \eta]=F[\phi] + A.\eta + ...[/latex] Die ... müssen irgendeinen Term ergeben, der mindestens quadratisch von [latex]\eta[/latex] abhängt. Und der lineare, [i]stetige[/i] (!) Operator A, sofern er existiert, ist die "Funktionalableitung" von F nach [latex]\phi[/latex]. Angewendet auf [latex]F[\phi]=\phi(x)^2[/latex] bedeutet dies [latex]F[\phi + \eta]=[(\phi+\eta)(x)]^2=\phi(x)^2 +2\phi(x)\eta(x)+\eta(x)^2= F[\phi]+2\phi(x)\eta(x)+\eta(x)^2.[/latex] An dieser Stelle muß man wahrscheinlich genauer definieren, von welcher Norm auf dem fraglichen Funktionenraum man spricht. Ist z.B. [latex]\|\eta\|[/latex] die Supremumsnorm, so wäre [latex]\frac{|\eta(x)^2|}{\|\eta\|}\leq \frac{\|\eta\|^2}{\|\eta\|}=\|\eta\|\to 0[/latex] für [latex]\|\eta\|\to 0[/latex], was die Differenzierbarkeit von F beweist und zeigt, daß dessen Differential an der "Stelle" [latex]\phi[/latex] gleich [latex]F'[\phi]=2\phi(x)[/latex] ist, d.h. es handelt sich um die lineare Abbildung [latex]F'[\phi][/latex], die jedem [latex]\eta[/latex] aus dem betrachteten Funktionenraum den Wert [latex]\eta\mapsto 2\phi(x)\eta(x)[/latex] zuordnet, wie du auch schon vermutet hast.[/quote]
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index_razor
Verfasst am: 16. Jun 2020 13:14
Titel:
Das Problem existiert doch schon bei der Definition von F. Offensichtlich reicht es nicht, daß f im Unendlichen gegen null geht. Es muß mindestens schneller verschwinden als 1/x², ansonsten kann
ja auch schon divergieren.
Andererseits wissen wir ja
Damit ist nach Definition
Damit ist die Funktionalableitung eindeutig definiert, sofern das Integral auf der rechten Seite für alle "geeigneten"
exisitiert. Welche
"geeignet" sind, hängt allerdings wieder vom Definitionsbereich von F ab, über den wir m.E. im Augenblick nicht genügend wissen.
Vielleicht hilft noch folgende Überlegung:
Wenn
der Definitionsbereich von F ein linearer Raum ist, dann gilt offensichtlich
Man benötigt also in diesem Fall für die Funktionalableitung nicht mehr Forderungen an f als bereits für die Definition von F.
Matthias In
Verfasst am: 16. Jun 2020 11:56
Titel:
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
Es ist noch gegeben, dass f eine
Funktion ist. D.h
, mit
, weil dann
angenommen werden kann?
Ich stehe gerade vor fast dem gleichen Problem. Vorallem, es kann ja sein, dass
"schneller" wächst, als die
Funktion und eta fallen. Dann würde alles gegen Unendlich gehen. Dann macht ja aber die ganze Ableitung keinen Sinn, wenn man als Ableitung dann sowas bekommt:
.
Also, falls da jemand helfen kann, wäre ich auch an einer Lösung interessiert.
Lissi27
Verfasst am: 15. Jun 2020 14:50
Titel:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Warum können wir das sagen? Mir leuchtet das auf Anhieb nicht ein. (Was nicht heißt, daß es nicht stimmt.)
Also wir hatten C_0 Funktionen so, dass sie im Unendlichen verschwinden. Deshalb ist ja
und damit auch
, für
monoton fallend.
Aber du hast Recht, da bleibt noch das Problem, dass
gegen Unendlich geht und wir dann nicht sagen können, dass das Produkt gegen Null läuft...
index_razor
Verfasst am: 15. Jun 2020 13:26
Titel:
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Laut Voraussetzung ist ja sogar der Träger von
beschränkt, d.h.
ist sicher null mit Ausnahme eines beschränkten Intervalls.
Dass
bedeutet nur, dass f im Unendlichen verschwindet. Der Träger kann dabei trotzdem ganz
sein, oder nicht?
Hm, also ich kenne
nur als Bezeichnung für eine Menge von beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger. Wenn der Träger ganz
sein kann, dann ist ja auch die Bedingung
ohne Inhalt.
Zitat:
Aber wir können sagen, dass die Ableitung im Grenzwert gegen 0 geht, und damit fällt der Term im Grenzwert auch weg, korrekt?
Warum können wir das sagen? Mir leuchtet das auf Anhieb nicht ein. (Was nicht heißt, daß es nicht stimmt.)
Zitat:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es könnte sein, daß hier das Integral
zwischen
laufen soll. Dann fehlt noch die Multiplikation mit
vor deinem Ergebnis.
Das ist hier aber nicht der Fall, weil
nur für positive Argumente definiert ist, oder?
Ja, dann ergibt dein Ergebnis Sinn.
Lissi27
Verfasst am: 14. Jun 2020 20:53
Titel:
Kleine Korrektur:
Lissi27
Verfasst am: 14. Jun 2020 20:50
Titel:
Vielen Dank für Ihre ausführliche Antwort! Jetzt habe ich die Funktionalableitung glaube ich richtig verstanden. Die Schreibweise hat mir nicht klar gemacht, dass das links die Anwendung auf den Operator ist, aber so macht es dann Sinn.
Die Aufgabenstellung ist: Gegeben sei das Funktional
,
wobei
monoton fallend.
Bestimmen Sie die Funktionalableitung.
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Laut Voraussetzung ist ja sogar der Träger von
beschränkt, d.h.
ist sicher null mit Ausnahme eines beschränkten Intervalls.
Dass
bedeutet nur, dass f im Unendlichen verschwindet. Der Träger kann dabei trotzdem ganz
sein, oder nicht? Aber wir können sagen, dass die Ableitung im Grenzwert gegen 0 geht, und damit fällt der Term im Grenzwert auch weg, korrekt?
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es könnte sein, daß hier das Integral
zwischen
laufen soll. Dann fehlt noch die Multiplikation mit
vor deinem Ergebnis.
Das ist hier aber nicht der Fall, weil
nur für positive Argumente definiert ist, oder?
Sorry, dass ich die Bedingung nicht am Anfang mit hingeschrieben habe, hätte natürlich Sinn ergeben. Das merke ich mir für's nächste Mal...
Also würden Sie mir dann bei
als Ableitung zustimmen?
index_razor
Verfasst am: 14. Jun 2020 17:10
Titel:
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
Es ist noch gegeben, dass f eine
Funktion ist.
Es wäre hilfreich, wenn du diese Voraussetzungen von Anfang an dazu schreibst. Die stehen nicht umsonst in der Aufgabenstellung.
Zitat:
D.h
, mit
, weil dann
angenommen werden kann?
Laut Voraussetzung ist ja sogar der Träger von
beschränkt, d.h.
ist sicher null mit Ausnahme eines beschränkten Intervalls.
Zitat:
Dann ist
.
Warum schreibst du immer so umständlich diese Grenzwerte hin? Das
kürzt sich doch von Anfang an weg.
Zitat:
dann wäre die gesuchte Ableitung jetzt
?
Es könnte sein, daß hier das Integral
zwischen
laufen soll. Dann fehlt noch die Multiplikation mit
vor deinem Ergebnis.
Vielleicht solltest du nochmal den kompletten Aufgabentext wörtlich posten, damit klar ist, daß nicht noch irgendwelche wichtigen Voraussetzungen fehlen.
index_razor
Verfasst am: 14. Jun 2020 16:49
Titel: Re: Funktionalableitung
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
Vielen Dank schon einmal für Ihre Antworten.
Ja, das war ein Tippfehler, es soll F(f) heißen. Mir ist noch nicht klar wieso man die Funktionalableitung so erhält:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Der Term linear in
enthält die Funktionalableitung. Allerdings muß das Integral in die Form
gebracht werden, wobei
eine Funktion von x ist, die nicht mehr von
ebhängt .
Die Definition, die ich erhalten habe ist
,
Das kann nicht ganz stimmen. Der Grenzwert auf der rechten Seite wird im allgemeinen ja von
abhängen. Entscheidend ist aber, daß diese Abhängigkeit
linear
in
ist. Links müßte also vermutlich
stehen. So wie in dieser Gleichung:
Zitat:
wobei
für
.
Dann ist beides im wesentlichen dieselbe Bedingung.
Zitat:
Dafür muss
.
Dann ist meine erste Frage: Wo geht die Bedingung
ein? Ist das für die Existenz des Limes nötig?
Es wurde also festgelegt, daß
? Ansonsten handelt es sich ja hier um keine Einschränkung an
.
Falls ja, vermute ich, das soll sicherstellen, daß bestimmte Randterme
verschwinden, die beim Abwälzen der Ableitung von
entstehen. Ansonsten fällt mir kein Grund für diese Bedingung ein.
Zitat:
Und zweitens: Wie komme ich darauf, dass die Ableitung so zu finden ist, wie Sie es beschrieben haben, denn ich bekomme
Und da stimmt doch dann irgendwas nicht, wenn links auch die Ableitung steht?
Die Funktionalableitung
ist ein linearer Operator auf irgendeinem Vektorraum von Funktionen f. Links steht die Anwendung dieses Operators auf die Funktion
. Schreiben wir dafür mal kurz
Die Anwendung dieses Operators
schreibt man nun oft als Integral über eine verallgemeinerte Funktion (Distribution) -- nennen wir die mal
-- multipliziert mit
, d.h.
Ich vermute das Integral auf der rechten Seite ist das, was ihr mit
bezeichnen würdet. Für den "Funktionswert"
schreibt man nun auch
und nennt dies ebenfalls
Funktionalableitung
. (Hauptsächlich Physiker tun das.) Damit hätten wir dann also folgende Identitäten
Das wichtige an der Definition der Funktionalableitung ist aber, wie gesagt nur, daß der Grenzwert hier linear in
ist.
Zitat:
Ich kam damit dann bisher immer bis
und an der Stelle weiß ich noch nicht so recht weiter.
Den Grenzwert ganz rechst kannst du trivial ausführen. Das ergibt
Das ist linear in
, entspricht also
angewendet auf
. Dies kannst du nun unter Berücksichtigung der gegebenen Bedingungen an
und
als Integral über das Produkt aus
und
schreiben.
Lissi27
Verfasst am: 14. Jun 2020 16:12
Titel:
Wenn ich mit ihrem Tipp weiter mache und jetzt mal annehme, dass ich die Ableitung in dem Integral
erhalte, würde ich so vorgehen:
. Es ist noch gegeben, dass f eine
Funktion ist. D.h
, mit
, weil dann
angenommen werden kann?
Dann ist
.
dann wäre die gesuchte Ableitung jetzt
?
Lissi27
Verfasst am: 14. Jun 2020 15:17
Titel: Re: Funktionalableitung
Vielen Dank schon einmal für Ihre Antworten.
Ja, das war ein Tippfehler, es soll F(f) heißen. Mir ist noch nicht klar wieso man die Funktionalableitung so erhält:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Der Term linear in
enthält die Funktionalableitung. Allerdings muß das Integral in die Form
gebracht werden, wobei
eine Funktion von x ist, die nicht mehr von
ebhängt .
Die Definition, die ich erhalten habe ist
,
wobei
für
. Dafür muss
.
Dann ist meine erste Frage: Wo geht die Bedingung
ein? Ist das für die Existenz des Limes nötig?
Und zweitens: Wie komme ich darauf, dass die Ableitung so zu finden ist, wie Sie es beschrieben haben, denn ich bekomme
Und da stimmt doch dann irgendwas nicht, wenn links auch die Ableitung steht?
Ich kam damit dann bisher immer bis
und an der Stelle weiß ich noch nicht so recht weiter.
Warum ist die Funktionalableitung der Term vor
? Was ist mit dem Integral und dem Nenner mit
?
Viele Grüße,
Lis
index_razor
Verfasst am: 14. Jun 2020 13:16
Titel: Re: Funktionalableitung
Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
Und zwar habe ich Folgendes Funktional gegeben:
Das ist kein Funktional, sondern eine Funktion.
Doch, das ist ein Funktional von f. Da sollte allerdings wohl F(f) stehen und nicht F(x). Das ist vermutlich nur ein Tippfehler.
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
Ich hätte das jetzt einfach auf mein Funktional angewendet und erhalte als Funktionalableitung das hier:
Dabei lasse ich
einfach als Konstante drin. Ist die Ableitung so korrekt? Müsste ich die noch durch 2 teilen, weil mein Integral nur von 0 beginnt und nicht über ganz R läuft?
Als Ansatz würde ich immer
in das gegebene F einsetzen und nach
entwickeln. Da in diesem Fall F von
abhängt, kommt die Ableitung
vor, die an der geeigneten Stelle gemäß der Produktregel abgewälzt werden muß.
Man erhält also
Der erste Summand unter dem Integral ergibt wieder
. Der Term linear in
enthält die Funktionalableitung.*) Allerdings muß das Integral in die Form
gebracht werden, wobei
eine Funktion von x ist, die nicht mehr von
ebhängt . Dafür mußt du die Produktregel verwenden
Jetzt mußt du nur noch erklären, was mit der totalen Ableitung nach x,
unter dem Integral passiert. Aus dem verbleibenden Integral kannst du die Funktionalableitung ablesen.
___________
*) Hier benutze ich, daß das Restintegral
die Eigenschaft
für
besitzt. Dies ist in der gewöhnlichen Analysis ausreichend um den linearen Term mit der Ableitung der Funktion zu identifizieren.
Das ist streng genommen hier nicht ganz richtig. Korrekte wäre, zu verlangen, daß
für
.
Für die Anwendung dieses Kriteriums ist die Aufgabe allerdings zu vage gestellt. Insbesondere ist der Definitionsbereich von F überhaupt nicht definiert worden und keine Norm
gegeben, mit der man die Funktionalableitung definieren könnte. Ich vermute deshalb, daß das heuristische Argument oben im Sinne der Aufgabenstellung ist.
Nils Hoppenstedt
Verfasst am: 14. Jun 2020 12:17
Titel: Re: Funktionalableitung
Lissi27 hat Folgendes geschrieben:
Und zwar habe ich Folgendes Funktional gegeben:
Das ist kein Funktional, sondern eine Funktion. Außerdem spielt x auf rechten Seite lediglich die Rolle der Integrationsvariablen, der Wert des Integrals selbst ist unabhängig von x. Es gilt also F(x) = const und damit F'(x) = 0.
Viele Grüße,
Nils
Lissi27
Verfasst am: 14. Jun 2020 10:13
Titel: Funktionalableitung
Hallo zusammen,
dann klinke ich mich auch mal ein. Ich habe ein ähnliches Problem zu Funktionalableitungen. Und zwar habe ich Folgendes Funktional gegeben:
Mein Problem ist, dass das Funktional abhängig von f' und nicht von f ist.
Bei meiner Recherche bin ich auf Folgende Formel gekommen (steht auch bei Wikipedia):
Ich hätte das jetzt einfach auf mein Funktional angewendet und erhalte als Funktionalableitung das hier:
Dabei lasse ich
einfach als Konstante drin. Ist die Ableitung so korrekt? Müsste ich die noch durch 2 teilen, weil mein Integral nur von 0 beginnt und nicht über ganz R läuft?
Gast__
Verfasst am: 04. Mai 2020 19:36
Titel:
Ach... ja natürlich, ich Rindvieh
Danke euch für eure Hilfe
index_razor
Verfasst am: 03. Mai 2020 21:46
Titel:
Gast__ hat Folgendes geschrieben:
Was ich daraus nehme ist, dass die Funktionalableitung quasi Koeffizient der Taylorentwicklung von
im Term linear in
ist?
Kann man das so sagen?
Ja, so wie die normale Ableitung in der endlichdimensionalen Analysis ja eigentlich auch der lineare Term in dieser Entwicklung ist.
Gast__
Verfasst am: 03. Mai 2020 20:35
Titel:
@index_razor, wir sollen die Definition benutzen um für eine Reihe vorgegebener Funktionale die Funktionalableitung zu errechen. Daher kann man wohl davon ausgehen, dass die rechte Seite von (D) existiert.
Ich habe auch deine Antwort an Rudi gelesen, leider bin ich nicht gerade ine Mathe-Leuchte, ich verstehe das also nicht so hundertprozentig.
Was ich daraus nehme ist, dass die Funktionalableitung quasi Koeffizient der Taylorentwicklung von
im Term linear in
ist?
Kann man das so sagen?
index_razor
Verfasst am: 01. Mai 2020 12:32
Titel:
Gast__ hat Folgendes geschrieben:
Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
D.h. du erhältst die Funktionalableitung, indem du den Term
auswertest. Das
ist dabei eine beliebige Testfunktion. Das Funktional, das sich dabei am Ende ergibt, muss natürlich unabhängig von der Testfunktion sein.
Danke dir. D.h. wenn ich ein Funktional gegeben habe, muss ich "einfach"
bilden und anhand dessen erkenne ich dann, was
ist, weil das Integral mit
die gleiche Funktion ergeben muss?
Leider nicht unbedingt. Die linke Seite von
definiert so etwas wie die Richtungsableitung von F entlang
an der "Stelle"
. Die rechte Seite definiert ein Funktional, welches
linear
in
ist.
Letzteres bezeichnet man in der gewöhnlichen Analysis als totales Differential oder einfach nur als Ableitung. Und wie in der gewöhnlichen Analysis garantiert die Existenz der Richtungsableitungen nicht die Differenzierbarkeit der Funktion und damit auch nicht die Existenz eines linearen Funktionals mit der Eigenschaft (D). Aus diesem Grund ist (D) m.E. keine gute Definition für die rechte Seite.
Wenn
allerdings die rechte Seite existiert, existiert auch die linke Seite und beide sind gleich. Das ist auch wie in der gewöhnlichen Analysis.
Wie du in der Praxis
bestimmst, hängt sicher davon ab, in welcher Form F gegeben ist. In der Physik hat man es ja oft mit Funktionalen zu tun, die ebenfalls als Integrale über genügend glatte Funktionen gegeben sind (in welchem Fall die Differenzierbarkeit von F außer Frage steht), z.B. das Wirkungsfunktional
(Hier übernimmt jetzt
die Rolle von
aus den vorigen Formeln und
die Rolle von
.) In diesem Fall würde man einfach
bis zu Termen linear in
auswerten. Dieser lineare Term definiert die Funktionalableitung von S, d.h
Der letzte Term verschwindet natürlich bei der Integration, wenn, wie normalerweise, die möglichen Funktionen x vorgegebene Randwerte haben. In diesem Fall kann man also einfach schreiben
Gast__
Verfasst am: 01. Mai 2020 08:25
Titel:
Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
D.h. du erhältst die Funktionalableitung, indem du den Term
auswertest. Das
ist dabei eine beliebige Testfunktion. Das Funktional, das sich dabei am Ende ergibt, muss natürlich unabhängig von der Testfunktion sein.
Danke dir. D.h. wenn ich ein Funktional gegeben habe, muss ich "einfach"
bilden und anhand dessen erkenne ich dann, was
ist, weil das Integral mit
die gleiche Funktion ergeben muss?
Nils Hoppenstedt
Verfasst am: 30. Apr 2020 21:46
Titel:
Gast__ hat Folgendes geschrieben:
Ich bin nicht sicher wie ich an
rankomme, weil ich mit dem
absolut nichts anfangen kann.
Du liest die Definition verkehrt rum: der rechte Ausdruck wird über den linken Ausdruck definiert, nicht umgekehrt. D.h. du erhältst die Funktionalableitung, indem du den Term
auswertest. Das
ist dabei eine beliebige Testfunktion. Das Funktional, das sich dabei am Ende ergibt, muss natürlich unabhängig von der Testfunktion sein.
Hier ist ein schönes Beispiel vorgerechnet:
https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionalableitung
Viele Grüße,
Nils
Gast__
Verfasst am: 30. Apr 2020 19:52
Titel:
Hallo, ich klinke mich mal ein, weil ich auch eine Frage zur Funktionalableitung habe.
Und zwar haben wir die folgende Definition bekommen:
Ich bin nicht sicher wie ich an
rankomme, weil ich mit dem
absolut nichts anfangen kann. Wir haben dazu keine Erklärung bekommen.
Kann mir jemand sagen, was genau
ist?
TomS
Verfasst am: 27. Nov 2016 20:24
Titel: Re: Funktionalableitung
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Wäre
eine Funktion, hätte da ja eigentlich
stehen müssen.
Aber genau das steht da ja:
Rudi92 hat Folgendes geschrieben:
Jetzt sei z.B.:
Deswegen bringt es nichts, wenn wir beide vermuten, welches Funktional gemeint sein könnte. Erst muss die Definition klar sein.
index_razor
Verfasst am: 27. Nov 2016 17:54
Titel: Re: Funktionalableitung
TomS hat Folgendes geschrieben:
Deine Abbildung ordnet der Funktion phi jedoch die Funktion phi^2 zu. Demnach handelt es sich hierbei schlichtweg nicht um ein Funktional. Das solltest du klären.
Meine Vermutung war, daß es sich um das Funktional handelt, welches jeder Funktion
das Quadrat ihres Funktionswertes an der festen Stelle x zuordnet.
Wäre
eine Funktion, hätte da ja eigentlich
stehen müssen.
TomS
Verfasst am: 27. Nov 2016 16:39
Titel: Re: Funktionalableitung
Rudi92 hat Folgendes geschrieben:
... mein Funktional ist doch klar vorgegeben.
Na ja, es ist halt kein Funktional :-)
Nach Wikipedia:
Als Funktional bezeichnet man in der Mathematik zumeist eine Funktion aus einem Vektorraum V in den Körper, der dem Vektorraum zugrunde liegt. Oft ist V ein Funktionenraum, also ein Vektorraum, dessen Elemente reell- oder komplexwertige Funktionen sind. Ein Funktional ist somit eine Funktion auf Funktionen ... Wir beschränken uns hier fast ausschließlich auf Fälle, in denen der Zahlenkörper der Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist.
Ein Funktional F ordnet einer Funktion f also eine Zahl c zu: F[f] = c.
Deine Abbildung ordnet der Funktion phi jedoch die Funktion phi^2 zu. Demnach handelt es sich hierbei schlichtweg nicht um ein Funktional. Das solltest du klären.
Rudi92
Verfasst am: 27. Nov 2016 12:40
Titel:
Wow, vielen Dank! Deine Bemerkungen muss ich mir jetzt erstmal in Ruhe durchdenken.
index_razor
Verfasst am: 26. Nov 2016 20:16
Titel:
Rudi92 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Hallo,
Ich stehe total auf dem Schlauch was Funktionalableitungen angeht.
Darüber mußt du dir wohl nicht weiter den Kopf zerbrechen. Eure Definition läßt m.E. einiges an Klarheit vermissen. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der aus dem endlichedimensionalen bekannten Ableitungsbegriffe. Die
Frechet-Ableitung
ist eine Verallgemeinerung des totalen Differentials auf beliebige vollständige normierte Räume, die
Gateaux-Ableitung
eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung. Eine davon ist höchstwahrscheinlich gemeint.
Ich denke mit der Frechet-Ableitung kommt man als Physiker für die meisten Anwendungen wie z.B. der Variationsrechnung aus. Zumindest würde ich sagen, ist der Begriff für das von dir betrachtete Funktional
vollkommen ausreichend, ohne daß man sich dabei irgendwie mit
-Distributionen verrenken muß. Von der Frage, was die punktweise Addition einer Funktion
mit der "Deltafunktion", wie in
überhaupt bedeuten soll, kann man dann ohne weiteres absehen. (Das erscheint mir auch überhaupt nicht so offensichtlich zu sein.)
In diesem Sinne (Frechet) ist die "Ableitung von
nach
" nichts anderes als der lineare Term der Änderung von F in
, d.h. um die Ableitung (das Differential) zu bestimmen, berechnest du also
Die ... müssen irgendeinen Term ergeben, der mindestens quadratisch von
abhängt. Und der lineare,
stetige
(!) Operator A, sofern er existiert, ist die "Funktionalableitung" von F nach
.
Angewendet auf
bedeutet dies
An dieser Stelle muß man wahrscheinlich genauer definieren, von welcher Norm auf dem fraglichen Funktionenraum man spricht. Ist z.B.
die Supremumsnorm, so wäre
für
, was die Differenzierbarkeit von F beweist und zeigt, daß dessen Differential an der "Stelle"
gleich
ist, d.h. es handelt sich um die lineare Abbildung
, die jedem
aus dem betrachteten Funktionenraum den Wert
zuordnet, wie du auch schon vermutet hast.
Rudi92
Verfasst am: 26. Nov 2016 18:39
Titel: Re: Funktionalableitung
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich denke, dich verwirrt die Definition des Funktionals. Setze z.B.
Kann ich das einfach so machen? Ich meine mein Funktional ist doch klar vorgegeben.
Ich hab nochmal versucht mit der Definition zu arbeiten und komme mit L'hospital auf folgendes:
Was ja dem entspricht was du gesagt hast.
TomS hat Folgendes geschrieben:
TomS
Verfasst am: 26. Nov 2016 18:07
Titel: Re: Funktionalableitung
Rudi92 hat Folgendes geschrieben:
Jetzt sei z.B.
Ich denke, dich verwirrt die Definition des Funktionals. Setze z.B.
Dann ist
Wenn du stattdessen formal ohne Integrale bzw. mit der delta-Distribution rechnen möchtest, dann kannst du
verwenden.
Diese Ableitung tritt dann jedoch im Integral von F auf, so dass die Integration über dy wieder eine Funktion von x liefert.
Allgemein: ein Funktional F ordnet einer Funktion phi eine (komplexe) Zahl zu. Ein Funktional ist also etwas anderes als eine Funktion. Häufig treten bei der Definition Integrale auf. In diesem Sinne ist dann auch das delta-Funktional als spezielles Funktional zu verstehen: unter dem Integral steht die delta-Distribution als Integralkern und projiziert den Wert der Funktion phi an der Stelle a heraus; damit ordnet sie der gesamten Funktion phi genau eine Zahl, nämlich den Funktionswert an der Stelle a zu:
Rudi92
Verfasst am: 26. Nov 2016 15:00
Titel: Funktionalableitung
Meine Frage:
Hallo,
Ich stehe total auf dem Schlauch was Funktionalableitungen angeht. Es ist ja eigentlich wie ne ganz normale Ableitung, nur das man eben ein Funktional nach einer Funktion ableitet. Wir haben aus der VL folgende Definition gegeben:
Jetz sei z.B.:
Ich verstehe einfach nicht, wie ich das Funktional in die Definition zur Funktionalableitung einzusetzen habe, da F von
abhängt und man jetzt F gleich
setzt.
Meine Ideen:
Ich erwarte eigentlich, dass irgendetwas wie
rauskommt.
Allerdings kommt ich da so nicht hin:
Ich hab hier irgendwo einen Denkfehler. Ich möchte keine Lösung, sondern nur einmal ausformuliert wie das korrekt eingesetzt wird. In der VL steht bei den Beispiel einfach immer direkt ein Ergebnis und ich sehe es nicht -.-'