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Formeleditor
[quote="TomS"]Orts- und Impulsoperator sind im Schrödingerbild nicht zeitabhängig. D.h. [latex]\frac{dx_S}{dt} = \frac{\partial x_S}{\partial t} = 0[/latex] [latex]\frac{dp_S}{dt} = \frac{\partial p_S}{\partial t} = 0[/latex] Nun betrachten wir den Hamiltonoperator des freien Teilchens sowie den Hamiltonoperator für ein Teilchen in einem zeitabhängigen Potential [latex]H_S^{(0)} = \frac{p_S^2}{2m}[/latex] [latex]H_S = \frac{p_S^2}{2m} + V_S(x,t)[/latex] Offensichtlich ist [latex]\frac{dH_S^{(0)}}{dt} = 0[/latex] [latex]\frac{dH_S}{dt} = \frac{\partial V_S}{\partial t}[/latex] Üblicherweise liegt jedoch ein zeitunabhängiges Potential vor, d.h. [latex]\frac{dH_S}{dt} = \frac{\partial V_S}{\partial t} = 0[/latex] Damit [i]und nur damit[/i] gilt die Schrödingergleichung sowie die daraus resultierende [i]Lösung[/i] für die Zustände [latex]|\psi(t)\rangle_S = U(t-t_0)\,|\psi(t_0)\rangle_S = e^{-iH_S(t-t_0)}\,|\psi(t_0)\rangle_S[/latex] [latex]U(t-t_0) = e^{-iH_S(t-t_0)}[/latex] bezeichnet den Zeitentwicklungsoperator. Nun betrachten wir im Vergleich dazu das Heisenbergbild. Du [i]definierst[/i] [latex]|\psi\rangle_H = U^\dagger(t-t_0)\,|\psi(t_t)\rangle_S = U^\dagger(t-t_0)\,U(t-t_0)|\psi(t_0)\rangle_S = |\psi(t_0)\rangle_S [/latex] D.h. die Zustände sind im Heisenbergbild [i]zeitunabhängig[/i]. Die beiden Bilder werden also wie folgt [i]definiert[/i]: Im [i]Schrödingerbild[/i] folgt die Zeitabhängigkeit der Zustände aus der Schrödingergleichung. Eine Zeitabhängigkeit von Operatoren, insbs. des Hamiltonoperators liegt höchstens dann vor, wenn [i]externe[/i] Felder (elektrisches Feld, magnetisches Feld, ...) [i]explizit[/i] zeitabhängig sind. Für die Definition des [i]Heisenbergbild[/i] werden die Zustände des Schrödingerbildes gerade so transformiert, dass die Zeitabhängigkeit der Zustände [i]verschwindet[/i]. Wichtig: das kannst du nicht erkennen, das sind Definitionen. Physikalische Größen folgen aus Matrixelementen von Operatoren. Wenn wir z.B. den Erwartungswert des Impulses berechnen, so gilt [latex]\langle p \rangle_S(t) = \langle \psi(t)|p_S|\psi(t)\rangle_S = \langle \psi(t_0)|U^\dagger(t-t_0)\,p_S\,U(t-t_0)|\psi(t_0)\rangle_S = \langle \psi|p_H(t)|\psi\rangle_H [/latex] Dabei wird die [i]Definition[/i] des Heisenbergbild gerade so ergänzt, dass die Zeitentwicklung von den Zustränden auf die Operatoren überführt wird: [latex]U^\dagger(t-t_0)\,p_S\,U(t-t_0) = p_H(t)[/latex] Nun betrachten wir den o.g. Fall eines nicht explizit zeitabhängigen, in x nicht konstanten Potentials. Damit wird der Impulsoperator im Heisenbergbild tatsächlich [i]implizit[/i] zeitabhängig. Physikalisch: der Impuls in einem nicht konstantem Potential ist nicht erhalten, also zeitabhängig. Mathematisch: der Zeitentwicklungsoperator U bzw. der Hamiltonoperator H_S vertauschen nicht mit p_S, da in H_S ein x-abhängiges Potential V_S steckt.[/quote]
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Autor
Nachricht
TomS
Verfasst am: 05. Sep 2016 14:17
Titel:
Orts- und Impulsoperator sind im Schrödingerbild nicht zeitabhängig. D.h.
Nun betrachten wir den Hamiltonoperator des freien Teilchens sowie den Hamiltonoperator für ein Teilchen in einem zeitabhängigen Potential
Offensichtlich ist
Üblicherweise liegt jedoch ein zeitunabhängiges Potential vor, d.h.
Damit
und nur damit
gilt die Schrödingergleichung sowie die daraus resultierende
Lösung
für die Zustände
bezeichnet den Zeitentwicklungsoperator.
Nun betrachten wir im Vergleich dazu das Heisenbergbild. Du
definierst
D.h. die Zustände sind im Heisenbergbild
zeitunabhängig
.
Die beiden Bilder werden also wie folgt
definiert
:
Im
Schrödingerbild
folgt die Zeitabhängigkeit der Zustände aus der Schrödingergleichung. Eine Zeitabhängigkeit von Operatoren, insbs. des Hamiltonoperators liegt höchstens dann vor, wenn
externe
Felder (elektrisches Feld, magnetisches Feld, ...)
explizit
zeitabhängig sind.
Für die Definition des
Heisenbergbild
werden die Zustände des Schrödingerbildes gerade so transformiert, dass die Zeitabhängigkeit der Zustände
verschwindet
.
Wichtig: das kannst du nicht erkennen, das sind Definitionen.
Physikalische Größen folgen aus Matrixelementen von Operatoren. Wenn wir z.B. den Erwartungswert des Impulses berechnen, so gilt
Dabei wird die
Definition
des Heisenbergbild gerade so ergänzt, dass die Zeitentwicklung von den Zustränden auf die Operatoren überführt wird:
Nun betrachten wir den o.g. Fall eines nicht explizit zeitabhängigen, in x nicht konstanten Potentials. Damit wird der Impulsoperator im Heisenbergbild tatsächlich
implizit
zeitabhängig. Physikalisch: der Impuls in einem nicht konstantem Potential ist nicht erhalten, also zeitabhängig. Mathematisch: der Zeitentwicklungsoperator U bzw. der Hamiltonoperator H_S vertauschen nicht mit p_S, da in H_S ein x-abhängiges Potential V_S steckt.
Okta
Verfasst am: 05. Sep 2016 12:35
Titel:
Hallo,
ich wollte gerade etwas über die Ehrenfest-Relationen lernen.
Dabei habe ich auf Wikipedia nachgeschaut und gesehen dass der Impuls und der Ortsoperator nicht zeitabhängig sein sollen.
Woher weiß ich das?
Danke
...wiki/Ehrenfest-Theorem
Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Ok nach einiger Nachforschung habe ich gelesen dass im sogennanten Schrödingerbild Operatoren höchstens
explizit
von der Zeit abhängen können. Ich vermute das hat hiermit etwas zu tun.
Aber...
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1.) Was bedeutet hierbei
explizit
?
Auf Wikipedia steht im Artikel über Schrödinger-Bild darüber nur
mit
Operator...
aber ist das eigtl. nict praktisch das Gleiche??
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2.) Woher weiß ich dass der Ortsoperator nicht explizit von der Zeit abhängt?