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[quote="miile"][b]Meine Frage:[/b] Hallo zusammem, ich haben beim erneuten Durchgehen meiner Übungsblätter folgende Übung gefunden: Berechnen Sie die Erwartungswerte von [latex]\hat{x}[/latex] und [latex]\hat{x^2}[/latex]. Außerdem ist aus vorherigen Aufgaben bekannt, dass gilt: [latex]\hat{a} \left| \alpha \right> = \alpha \left| \alpha \right>[/latex], mit [latex]\hat{a}[/latex] als Vernichtungsoperator, [latex]\left| \alpha \right>[/latex] als Zustand des betrachteten harmonischen Oszillators und [latex]\alpha \in \mathbb{C}[/latex]. Da ich die Lösungen (vollständig) vorliegen habe konnte ich bei der Berechnung für [latex]\left< \hat{x} \right>[/latex] mein Ergebnis bestätigen, für [latex]\left< \hat{x^2} \right>[/latex] jedoch nicht. [b]Meine Ideen:[/b] Meine Rechnung bis jetzt: [latex]\left< \hat{x^2} \right> = \frac{\hbar}{2m\omega} \left< \alpha \right|(\hat{a}^\dagger + \hat{a})^2 \left| \alpha \right> = \frac{\hbar}{2m\omega} \left< \alpha \right| ((\hat{a}^\dagger)^2 + \hat{a}^\dagger\hat{a} + \hat{a}\hat{a}^\dagger + \hat{a}^2) \left| \alpha \right>[/latex] Da gilt [latex]\hat{a} \left| \alpha \right> = \alpha \left| \alpha \right>[/latex] folgt [latex]\left< \alpha \right|\hat{a}^\dagger = (\hat{a}\left| \alpha \right>^*)^\dagger = (\alpha \left| \alpha \right>^*)^\dagger = \alpha^* \left< \alpha \right|[/latex] somit folgt: [latex]\left< \hat{x^2} \right> = \frac{\hbar}{2m\omega}(\alpha^* \left< \alpha \right| \hat{a}^\dagger \left| \alpha \right> + \alpha^* \alpha + \alpha \alpha^* + \left< \alpha \right| \alpha \hat{a} \left| \alpha \right>) = \frac{\hbar}{2m\omega}((\alpha^*)^2 + 2 \alpha^* \alpha + \alpha^2) = \frac{\hbar}{2m\omega}(\alpha^* + \alpha)^2[/latex] Mein Problem ist jedoch, dass sowohl für [latex]\left< \hat{x^2} \right>[/latex] als auch für [latex]\left< \hat{p^2} \right>[/latex] (in der nächsten Aufgabe) in den Lösungen nach dem Anwenden der Operatoren folgende Zeile folgt: [latex]... = \frac{\hbar}{2m\omega}((\alpha^*)^2 + \alpha^* \alpha + 1 + \alpha \alpha^* + \alpha^2) = \frac{\hbar}{2m\omega}(1 + (\alpha^* + \alpha)^2)[/latex] Ich verstehe nicht woher die 1 kommt. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank im Voraus miile[/quote]
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miile
Verfasst am: 10. Aug 2016 13:11
Titel:
@franz
vielen Dank, das ist tatsächlich die Lösung:
@jh8979
auch vielen Dank, hier liegt der Fehler, deshalb wird überhaupt die Kommutatorrelation angewendet... Mal wieder nicht sauber aufgeschrieben und schon einen Fehler gemacht
jh8979
Verfasst am: 10. Aug 2016 12:54
Titel:
Wie berechnest Du denn den dritten Term in x^2?
franz
Verfasst am: 10. Aug 2016 12:50
Titel:
Keine Ahnung,
nur einen vagen Verdacht: Für Bosonen lese ich sowas
miile
Verfasst am: 10. Aug 2016 12:31
Titel: Vernichtungs-/Erzeugungsoperator Erwartungswerte
Meine Frage:
Hallo zusammem,
ich haben beim erneuten Durchgehen meiner Übungsblätter folgende Übung gefunden:
Berechnen Sie die Erwartungswerte von
und
. Außerdem ist aus vorherigen Aufgaben bekannt, dass gilt:
, mit
als Vernichtungsoperator,
als Zustand des betrachteten harmonischen Oszillators und
.
Da ich die Lösungen (vollständig) vorliegen habe konnte ich bei der Berechnung für
mein Ergebnis bestätigen, für
jedoch nicht.
Meine Ideen:
Meine Rechnung bis jetzt:
Da gilt
folgt
somit folgt:
Mein Problem ist jedoch, dass sowohl für
als auch für
(in der nächsten Aufgabe) in den Lösungen nach dem Anwenden der Operatoren folgende Zeile folgt:
Ich verstehe nicht woher die 1 kommt. Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank im Voraus
miile