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[quote="hansguckindieluft"]Hallo, Du hast doch sicher zunächst die homogene Form der DGL gelöst. Beispiel Federpendel: [latex] \ddot{x} +\dfrac {m}{k}x=0[/latex] Ansatz z. B. : [latex]x\left( t\right) =A\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) [/latex] zweimal nach t abgeleitet: [latex]\ddot{x}\left( t\right) =-A\cdot \omega ^{2}\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) [/latex] Den Ansatz in die DGL eingesetzt: [latex]-A\cdot \omega ^{2}\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) +\dfrac {k}{m}\cdot A\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) =0[/latex] Die charakteristische Gleichung ist dann: [latex]-\omega ^{2}+\dfrac {k}{m}=0[/latex] Man hätte auch einen Exponentialansatz wählen können: [latex]x\left( t\right) =A\cdot e^{\lambda t}[/latex] In die DGL eingesetzt: [latex]A\cdot \lambda ^{2}\cdot e^{\lambda t}+\dfrac {k}{m}\cdot A\cdot e^{\lambda t}=0[/latex] Dann wäre die charakteristische Gleichung: [latex]\lambda ^{2}+\dfrac {k}{m}=0[/latex] Gruß[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>teelicht</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jul 2016 18:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">OK, danke. Ja jetzt hab ichs verstanden. <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jul 2016 17:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Nur</span> wenn die Erregerfrequenz <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega"> zufällig gleich dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_0"> (also gleich der Eigenfrequenz) ist, musst du den ersten Ansatz wählen, ansonsten den zweiten. <br /> <br />Das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_0"> ist ja die Lösung der homogenen Differenzialgleichung. <br /> <br />Würdest du für diesen Fall den zweiten Ansatz wählen , wäre die Gleichung für das A unbestimmt, da durch Null dividiert würde. Daher die Ergänzung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>teelicht</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jul 2016 16:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">OK, danke. Ich muss mir das nochmal anschaun. So ganz hab ichs noch nicht. <br /> <br />Ja also die homogene Lösung bekomme ich hin. <br /> <br />Es geht um die Wahl des Ansatz bei der partikulären Lösung. <br />Konkret darum, warum ich bei meinem Problem diesen Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=t(Asin(wt)+Bcos(wt))"> <br /> <br />und nicht <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=(Asin(wt)+Bcos(wt))"> <br /> <br />wählen muss. <br />Da war halt der Hinweis, dass der erste Ansatz gewählt werden soll, wenn w eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jul 2016 21:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>teelicht hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">OK, also das beta (von der Internet-Seite) ist in meinem Fall omega. <br />Und k/m ist ja omega². Aber in wie fern löst das die Gleichung wenn ich für lambda = omega einsetze. Das ergibt doch nicht 0. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br />Oder wie ist das gemeint?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich weiß nun nicht wie du das meinst, aber du benötigst natürlich noch die partikuläre Lösung. Unterscheide zwischen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega ">(Erregerfrequenz) und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_0">(Eigenfrequenz) !Meistens führt die Methode der Variation der Konstanten zum Ziel. Ist vielleicht etwas dumpf, funktioniert aber.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>hansguckindieluft</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jul 2016 18:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />in dem Fall bekommt man für lambda: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lambda _{1,2}=\pm \sqrt {-\dfrac {k}{m}}=\pm \sqrt {-\omega _{0}}=\pm j\cdot w_{0}"> <br /> <br />zwei konjugiert komplexe Lösungen. <br /> <br />Und damit die Lösung der homogenen Form der DGL: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x\left( t\right) =A\cdot e^{j\omega _{0}t}+B\cdot e^{-j\omega _{0}t}"> <br /> <br />Mit Hilfe der Eulerschen Identität und der Additionstheoreme lässt sich diese Lösung wieder überführen in: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x\left( t\right) =C\cdot \cos \left( \omega _{0}t-\varphi \right) "> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>teelicht</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jul 2016 23:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">OK, also das beta (von der Internet-Seite) ist in meinem Fall omega. <br />Und k/m ist ja omega². Aber in wie fern löst das die Gleichung wenn ich für lambda = omega einsetze. Das ergibt doch nicht 0. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br />Oder wie ist das gemeint?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>hansguckindieluft</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jul 2016 13:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Du hast doch sicher zunächst die homogene Form der DGL gelöst. <br />Beispiel Federpendel: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \ddot{x} +\dfrac {m}{k}x=0"> <br /> <br />Ansatz z. B. : <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x\left( t\right) =A\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) "> <br /> <br />zweimal nach t abgeleitet: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x}\left( t\right) =-A\cdot \omega ^{2}\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) "> <br /> <br />Den Ansatz in die DGL eingesetzt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-A\cdot \omega ^{2}\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) +\dfrac {k}{m}\cdot A\cdot \cos \left( \omega t-\varphi \right) =0"> <br /> <br />Die charakteristische Gleichung ist dann: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-\omega ^{2}+\dfrac {k}{m}=0"> <br /> <br />Man hätte auch einen Exponentialansatz wählen können: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x\left( t\right) =A\cdot e^{\lambda t}"> <br /> <br />In die DGL eingesetzt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A\cdot \lambda ^{2}\cdot e^{\lambda t}+\dfrac {k}{m}\cdot A\cdot e^{\lambda t}=0"> <br /> <br />Dann wäre die charakteristische Gleichung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lambda ^{2}+\dfrac {k}{m}=0"> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>teelicht</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jul 2016 12:40<span class="gen"> </span> Titel: DGL Lösungsansätze - harmonischer Oszillator</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo,<br /><br />ich rechne gerade Übungsbeispiele für meinen Klausuren durch und muss dafür auch DGLs lösen können. Leider hatten wir DGLs noch nicht wirklich in der Vorlesung, weshalb ich mir jetzt was im Internet rausgesucht habe, damit ich die Übungen machen kann. <br />Es geht um die Ansätze für die partikuläre Lösung.<br /><br /><a href="http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html" target="_blank">http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html</a><br /><br />Hier ist der Link, den ich angeschaut habe. <br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich konnte meine Aufgabe lösen - es ging um einen harmonischen Oszillator mit externen Kraft - , aber eher mehr durch ausprobieren.<br /><br />Die Kraft war: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F=mf_{0}cos(wt)"><br /><br />und der passende Ansatz <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=t(Acos(wt)+Bsin(wt))"><br /><br />Der andere, den es auf der Seite für sin/cos gibt, geht nicht. <br /><br />Ich habe das Bespiel nun geschafft, aber ich wüsste gerne was "Lösung der charakteristische Gleichung" auf dieser Seite bedeutet. Man soll ja immer danach seinen Ansatz wählen.<br /><br />Könnte mir das bitte jemand erklären?<br />Danke <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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