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[quote="TomS"]Das folgt 1) aus der Schrödingergleichung plus 2) der Forderung nach Stetigkeit der Wellenfunktion an den Wänden.[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 07. Apr 2016 20:05
Titel:
ichUndSo hat Folgendes geschrieben:
... ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen
existieren
können, für die L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist ... Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes können nur in bestimmten Zuständen
existieren
, die mit der Quantenzahl n eindeutig beschrieben werden.
Das ist falsch!
Die Schrödingergleichung für ein Teilchen im Kasten der Länge L lautet
Hinzu kommt die Randbedingung
Die
stationäre
Schrödingergleichung folgt aus dem Ansatz für Energieeigenzustände
Genau diese Zustände erfüllen die von dir diskutierte Quantisierungsbedingung.
Nun sind jedoch Superpositionen der Form
explizit
erlaubt
. D.h. es existieren
mehr
erlaubte Zustände als es stationäre Zustände gibt. Diese erfüllen die zeitabhängigen Schrödingergleichung, nicht jedoch die Quantisierungsbedingung.
ichUndSo hat Folgendes geschrieben:
... ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen existieren können, für die L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist, denn nur hier fällt auch nach einer Reflexion Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental (stehende Welle). Ist L kein Vielfaches der halben Wellenlänge, löscht sich die Welle durch Überlagerung nach kurzer Zeit selbst aus.
Das ist ebenfalls falsch!
Betrachte eine simple Überlagerung der Form
Nun ist
und damit
D.h. dass diese Wellenfunktion nach
endlicher
Zeit aufgrund der Periodizität wieder eine
identische
Form annimmt. Dies gilt allgemein für alle (endlichen) Summen in der Superposition.
TomS
Verfasst am: 07. Apr 2016 19:46
Titel:
Das folgt 1) aus der Schrödingergleichung plus 2) der Forderung nach Stetigkeit der Wellenfunktion an den Wänden.
ichUndSo
Verfasst am: 07. Apr 2016 19:46
Titel:
Ich geh mich ja schon schämen :D Für alle die zu faul zum nachschauen sind:
Beschreibt man das Teilchen, wie in der Quantenphysik üblich, mit Hilfe einer einfachen Wellenfunktion, ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen existieren können, für die L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist, denn nur hier fällt auch nach einer Reflexion Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental (stehende Welle). Ist L kein Vielfaches der halben Wellenlänge, löscht sich die Welle durch Überlagerung nach kurzer Zeit selbst aus. Dies ist die erste Besonderheit der Quantenmechanik, die sich mit dem Teilchen im Kasten aufzeigen lässt: Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes können nur in bestimmten Zuständen existieren, die mit der Quantenzahl n eindeutig beschrieben werden.
franz
Verfasst am: 07. Apr 2016 19:42
Titel:
Eine ausführliche Behandlung findet sich
hier
.
ichUndSoNotLoggedIn
Verfasst am: 07. Apr 2016 19:28
Titel: Frage zum linearen Potentialtopf
Meine Frage:
Ein Quantenobjekt kann in einem linearen Potentialtopf nur existieren wenn gilt: L = n * (Lambda / 2) . Wobei L die Breite des Topfes ist. Warum ist das so?
Meine Ideen:
Das Objekt lässt sich ja als stehende Welle betrachten wenn ich das richtig verstanden habe. Ich vermute das diese sich auslöscht wenn obige Gleichung nicht gegeben ist aber warum?