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[quote="franz"]Bei der theoretischen Behandlung gibt es verschiedene Fragestellungen: - Bewegung im Zentralfeld, Drehimpuls - Herleitung des Kraftgesetzes bei Keplerbahnen - Herleitung der Keplerbahnen (erweitert: Kegelschnitte) aus dem Kraftgesetz, Bedeutung der großen Halbachse. Die Möglichkeit einer wesentlichen Vereinfach der Behandlung dieser alten Standardfragen (auf gleichem Niveau) halte ich für illusorisch.[/quote]
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Jayk
Verfasst am: 27. März 2016 21:51
Titel:
Kosse, Deine Umformungen sind alle richtig (jedenfalls bis zu einem gewissen Punkt, bis zu dem ich sie überprüft habe), aber die Physik ist falsch:
beschreibt nicht das Keplerproblem. Auf der rechten Seite fehlt der Term
.
Das kann man auf mehreren Ebenen verstehen:
- intuitiv-physikalisch: Bei der Reduktion des Kepler-Problems auf ein eindimensionales Problem taucht das Zentrifugalpotential auf. Andernfalls würde der Mond in die Erde stürzen.
- theoretisch-physikalisch: Du kommst direkt darauf, wenn Du die Lagrange-Gleichungen in Polarkoordinaten aufschreibst.
- mathematisch-geometrisch: Aus der entsprechenden Gleichung "mit Vektorpfeilen" folgt nicht die Gleichung für die Beträge, insbesondere ist
Trotzdem: Es ist sehr gut, daß Du Dir selbst Gedanken machst! Solche "Tüfteleien" führen in den seltensten Fällen zum Erfolg, aber meistens lernt man dadurch trotzdem etwas. Du hast in Deinem Beitrag gesagt, daß Du die Vorgehensweise sehr kompliziert findest. Jetzt ist es Deine Aufgabe, zu verstehen, wieso es nicht einfacher geht.
(oder zumindest, welche Strategie der vermeintlich komplizierten Vorgehensweise zugrundeliegt)
franz
Verfasst am: 26. März 2016 23:07
Titel:
Bei der theoretischen Behandlung gibt es verschiedene Fragestellungen:
- Bewegung im Zentralfeld, Drehimpuls
- Herleitung des Kraftgesetzes bei Keplerbahnen
- Herleitung der Keplerbahnen (erweitert: Kegelschnitte) aus dem Kraftgesetz, Bedeutung der großen Halbachse.
Die Möglichkeit einer wesentlichen Vereinfach der Behandlung dieser alten Standardfragen (auf gleichem Niveau) halte ich für illusorisch.
Kosse
Verfasst am: 26. März 2016 22:51
Titel: Erledigt
Gut, ich denke das dürfte sich erübrigt haben. Ich habe es nochmal anders unter Berücksichtigung der Energieerhaltung probiert, und da hat es auf weniger umständliche Weise funktioniert und impliziert gleich ein paar andere Zusammenhänge. Trotzdem danke; falls ich doch noch Fragen zu dem Thema habe melde ich mich nochmal im Thread.
Kosse
Verfasst am: 26. März 2016 18:03
Titel: Herleitung der Ellipsenform von Keplerorbits (Newton)
Hallo,
In einem Buch von mir wird die Ellipsenform der Planetenbahnen aus Newtons Gravitationsgesetz hergeleitet. Diese sich über viele Seiten spannende Herleitung erschien mir sehr lang und umständlich, weshalb ich es mit einem eigenen Ansatz herleiten wollte. Nun habe ich mich vielleicht einfach irgendwo im weiteren Zuge verrechnet, dennoch wollte ich von euch wissen, ob mein Ansatz überhaupt stimmt.
Den auf die Masse von 1kg normierten Drehimpuls bezeichne ich als
, wobei
und
.
Die Ableitung
kürze ich mit
ab und zudem geht durch Differenzieren hervor, dass
und somit aufgrund der Kettenregel
.
Dann folgt ja aus
durch Anwendung der Kettenregel
bzw. nach Teilen durch
und Einsetzen der Ausdrücke von oben
wodurch der Ausdruck nur noch aus dem Radius und Ableitungen nach
und konstanten Ausdrücken besteht.
Teilt man noch durch
, multipliziert mit
und bringt alles auf eine Seite, kommt man schließlich auf
Die Lösung dieser DGL sollte jetzt ja die Gleichung für einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten mit einem Brennpunkt im Koordinatenursprung sein, also
mit
als großer Halbachse und
als numerischer Exzentrizität. Wenn richtig gerechnet habe, sind die Ableitungen
und
Sollten die Planetenbahnen also Kegelschnitte sein, dann müsste die obere Gleichung, wenn ich für
die Ellipsengleichung bzw. die entsprechenden Ableitungen einsetze, für einen bestimmten Zusammenhang zwischen
sowie
wahr sein, oder anders gesagt müssten sich alle Ausdrücke mit
herauskürzen. Als ich das allerdings durchgerechnet habe, war die Gleichung lediglich in den trivialen Fällen
bzw.
wahr, sonst enthielt sie stets noch Ausdrücke mit
. Habe ich also im Ansatz oder in der bisherigen Rechnung irgendetwas falsch gemacht? Oder habe ich mich eher irgendwo später beim Einsetzen verrechnet?
Danke,
Kosse