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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="balance"]Hallo,

Ich habe ein paar Fragen zur Herleitung der Formel der harmonischen Schwingung. Dazu habe ich sie selbst hergeleitet und die Fragen dementsprechend gestellt. Ich habs kommentiert und würde mir wünschen, wenn jemand darüber guckt.

Herleitung: Harmonische Schwingung bzw. harmonischer Oszillator

Wir beginnen mit dem Hook'schen-Gesetzt, da z.B eine Masse an einer Feder einer Schwingung entspricht.

(1) Die Bewegungsgleichung wäre dann:[latex]ma=-kx[/latex](Falls das Feder-Masse-System vertikal hängt setzten wir einfach den Nullpunkt entsprechend.)

(2) Weiter ist ja[latex]a=\ddot x[/latex]

(3)[latex]\Rightarrow m\ddot x + kx = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \ddot x+\frac{k}{m}x=0[/latex]

(4) Einschliesslich eines Dämpfungsterms und ganz allgemein lautet sie:[latex]\ddot x + a_1\dot x + a_0 x = 0[/latex](Wieso entspricht der Dämpfugnsterm genau[latex]a_0 \dot x[/latex], wieso kann die Dämpung nicht in einem anderen Term vorkommen?)

(5) Wir definieren[latex]\omega:=\sqrt{\frac{k}{m}}[/latex] (Dies machen wir, weil wir ein Federpendel anschauen.)

(6) Wir bekommen also:[latex]\ddot x + a_1\dot x + \omega^2x=0[/latex]

(7) Mittels Euler-Ansatz bekommen wir die Char. Gl.:[latex]\lambda^2+\omega^2=0 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda = \pm i\omega[/latex]

(8) Die Allg. Lösung lautet somit:[latex]x(t)=C_1e^{i\omega t}+C_2e^{-i\omega t}[/latex]

(9)[latex]x(t)[/latex]ist nun eine komplexe und evtl. imaginäre Lösung. Wir müssen jedoch sicherstellen, dass diese Lösung reell ist. Es muss also gelten:[latex]x(t)=\bar{x(t)}[/latex](Rechts steht das komplex. konj.)

[latex]x(t)=C_1e^{i\omega t}+C_2e^{-i\omega t}=\bar{C_1}e^{-i\omega t}+\bar{C_2}e^{i\omega t}=\bar{x(t)}[/latex]

[latex]\Leftrightarrow C_1e^{i\omega t}+C_2e^{-i\omega t}-\bar{C_1}e^{-i\omega t}-\bar{C_2}e^{i\omega t}=0[/latex]

[latex]\Leftrightarrow (C_1-\bar{C_2})e^{i\omega t}+(C_2-\bar{C_1})e^{-i\omega t}=0[/latex]

Die exp. Terme entsprechen Trigonometrischen Funktionen, somit müssen die Koeffizienten Null ergeben. (Aber auch weil Omega nie null sein kann, t variable ist und i auch nie null ist)

Es gilt also[latex]C_1=\bar{C_2}[/latex]und[latex]C_2=\bar{C_1}[/latex]Wir sehen, dass sogar gilt[latex]C_1=C_2[/latex]und somit[latex]\bar{C_1}=\bar{C_2}[/latex]- kurzum: Sie sind reell und gleich. Wir definieren also:[latex]C:=C_1=C_2[/latex](Wobei dies eine korrekte Wahl von[latex]C_1[/latex]und[latex]C_2[/latex]voraussetzt)

Wir kriegen also:

(10)[latex]x(t)=Ce^{i\omega t}+e^{-i\omega t}=2C\cos{\omega t}[/latex]

(11) Wir setzten[latex]A:=2C[/latex]und bekommen:[latex]x(t)=Acos(\omega t)[/latex]

Wir können nun natürlich noch einen Phasenwinkel[latex]\delta[/latex]hinzufügen, mit welchem wir die Startbedigungen bei[latex]t=0[/latex]beliebig varriieren können.

Wir bekommen somit:[latex]x(t)=A\cos(\omega t + \delta)[/latex]

In meinem Physik Skript wird übrigens delta'=delta+pi/2 gesetzt und vortan nur noch mit der Formel [latex]x(t)=A\sin(\omega t + \delta ')[/latex] gerechne. Fällt euch ein Grund ein, wieso? Kann ich es als komischen Didaktischen "Trick" abtun? (Man zeichne ne Schwingung ja eher so dass x(t=0)=0 ist) - was ja der Sinus is.

Ach und zu guter Letzt: Mir ist die Definition von Omega nicht so klar. Wieso bei einem Federpendel die Kreisfrequenz gleich der Wurzel von der Federkonstante geteilt durch die Masse ist. Werds mir sicher noch herleiten - aber falls ihr gute Linsk etc kennt, immer her damit. :)

Edit: Ich möchte hier Herleiten oder eher Erklären wieso [latex]\omega=\sqrt{k\over m}[/latex]

Inuitiv versteht man, dass eine Masse an einem Federpendel eine trigonometrische Funktion zeichen. z.B. Sinus, Cosinus. Nun ist wohl de Zusammenhang zwischen Einheitskreis und einer Trigo. Funktion bekannt. Somit ist die Beziehung zwischen einer Kreisbewegung und der Trigo. Funktion bekannt.

Man versteht also sofort, wenn man sagt: Die Änderung des Winkels ist das Ausführen einer Kreisbewegung. (Naja, das versteht man ja sowieso :P) Wir haben also einen Zusammenhang zw. Kreisbewegung und Schwingung.

Wir nehmen das Federpendel: [latex]F=-xk=m\ddot x \ \Rightarrow \ \ddot x(t)=-t\frac{k}{m}[/latex] wobei $x=t$ gesetzt wurde. Die Beschleunigung und somit die Positionsänderung der Masse ist also gleich [latex]-t\frac{k}{m}$[/latex]

Wie oben erklärt, lässt sich diese geradlinige (hoffe das ist der korrekte Term) auch als Welle denken. (Man befestige einen Stift an der Masse und zieht ein Blatt darüber.) Die Schwingung hingegen ist "verbunden" mit dem Kreis.

Wir wissen: [latex]\frac{d\phi}{dt}=\omega[/latex]. Daraus leiten wir inutivi her: [latex]\omega=\frac{k}{m}[/latex]

Es kann gern jemand ein wenig mathematischer Herleiten :P Man leist ausserdem aus der Formel raus: umso steifer die Feder, umso höher die Frequenz - umso schwerer die Feder, umso niedriger die Frequenz.[/quote]

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