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[quote="winki2008"]Hallo ich habe eine Frage, wie man genau die allgemeine Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik herleitet, die ja lautet [latex]\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\vec{v} \cdot \rho)=0[/latex]. In unserem VO-Skriptum wird das nämlich nicht richtig gezeigt, meine derzeitigen Überlegungen. Ich betrachte ein Kontrollvolumen, welches raumfest ist und beobachte die Masse [latex]m(t)[/latex], welche sich zeitlich im Kontrollvolumen ändern kann. [latex] m(t)=\iiint\rho(\vec{x},t) dx dy dz[/latex] Die Masse ist abhängig von der Dichte, welche von Ort und Zeit abhängt. jetzt betrachte ich den Massenstrom: [latex]\dot{m}(t)=\frac{\dd }{\dd t} \iiint\rho(\vec{x},t) dx dy dz[/latex] Speziell interessieren wir uns nun, wann die Masse im Kontrollvolumen erhalten bleibt, d.h. [latex]\dot{m}(t)=0[/latex] sein muss. unter der Berücksichtigung des Totalen Differentials folgt weiterhin: [latex]\dot{m}(t)=\iiint \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial \vec{x} }\frac{\partial \vec{x} }{\partial t} dx dy dz=0 [/latex] ich hoff bis dahin stimmt alles... allerdings weiß ich nicht ganz genau wie man die Ausdrücke vereinfachen kann. ich glaube wenn man das Volumen gegen 0 gehen lässt und das ganzer nur mehr lokal betrachtet, bleiben die Integranden über. [latex]\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial \vec{x} }\frac{\partial \vec{x} }{\partial t} =0[/latex] Geschwindigkeit ist: [latex] \vec{v}=\frac{\partial \vec{x} }{\partial t}[/latex] [latex]\frac{\partial \rho}{\partial \vec{x} }[/latex] ist glaub ich der Gradient.... nun weichen ich aber etwas vom gewünschten Ergebnis ab könnt ihr mir jetzt bitte weiterhelfen? Danke[/quote]
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franz
Verfasst am: 29. Jan 2016 22:45
Titel: Re: Kontinuitätsgleichung in der Hydrodynamik:Herleitung
Grundlage ist die Erhaltung der Masse: Die zeitliche Änderung der Gesamtmasse dieses Volumens = Massestrom durch dessen Oberfläche. Zusammen mit dem GAUßschen Satz also
winki2008
Verfasst am: 22. Jan 2016 18:20
Titel: Kontinuitätsgleichung in der Hydrodynamik:Herleitung
Hallo ich habe eine Frage, wie man genau die allgemeine Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik herleitet, die ja lautet
.
In unserem VO-Skriptum wird das nämlich nicht richtig gezeigt, meine derzeitigen Überlegungen.
Ich betrachte ein Kontrollvolumen, welches raumfest ist und beobachte die Masse
, welche sich zeitlich im Kontrollvolumen ändern kann.
Die Masse ist abhängig von der Dichte, welche von Ort und Zeit abhängt.
jetzt betrachte ich den Massenstrom:
Speziell interessieren wir uns nun, wann die Masse im Kontrollvolumen erhalten bleibt, d.h.
sein muss.
unter der Berücksichtigung des Totalen Differentials folgt weiterhin:
ich hoff bis dahin stimmt alles...
allerdings weiß ich nicht ganz genau wie man die Ausdrücke vereinfachen kann.
ich glaube wenn man das Volumen gegen 0 gehen lässt und das ganzer nur mehr lokal betrachtet, bleiben die Integranden über.
Geschwindigkeit ist:
ist glaub ich der Gradient....
nun weichen ich aber etwas vom gewünschten Ergebnis ab
könnt ihr mir jetzt bitte weiterhelfen?
Danke