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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 02. Dez 2015 15:34 Titel: |
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Wenn ich die Rechnung für einen einzelnen harmonischen Oszillator wiederhole erhalte ich:
oder auch mit der von mir zuvor benutzten Methode:
mein Endergebnis kann also auch geschrieben werden als:
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 11:41 Titel: |
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Ich habe mal weitergemacht. Zu berechnen hatte ich (hoffe ich):
Am Ende kam ich dann auf:
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jh8979 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 11:30 Titel: |
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Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | Ich sehe nicht ganz, wie mir das Umschreiben von Z bei dem Auswerten von
... hilft. |
Die Ableitung ist sehr viel einfacher auszuführen. |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 11:23 Titel: |
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Ich sehe nicht ganz, wie mir das Umschreiben von Z bei dem Auswerten von
hilft. Die Ableitung hätte ich hier nach gemacht und dann würde ja wieder die geometrische Reihe da stehen haben, die ich auswerten kann. Das Bilden der Ableitung läuft ja wie im Fall der Herleitung der Fermi-Dirac-Verteilung. So bin ich auch auf meinen Endausdruck gekommen... |
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jh8979 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 11:14 Titel: |
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Nein. (Daher würde ich Z umschreiben, dann ist das Ableiten deutlich einfacher.) |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 11:00 Titel: |
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Also kommt jetzt letzten Endes heraus:
heraus? |
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jh8979 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 10:40 Titel: |
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Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | In dem Ausdruck für Z? |
Ja. Das andere kriegt man dann am einfachsten durch Ableiten. |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 10:30 Titel: |
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Und der andere Term hat noch ein im Exponenten. Sind also meine anderen Ausdrücke alle falsch? |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 10:10 Titel: |
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In dem Ausdruck für Z? |
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jh8979 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 10:05 Titel: |
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Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | Aber das ist ja nicht das was da steht, ... |
Nicht? |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 10:03 Titel: |
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Aber das ist ja nicht das was da steht, in der einen Exponentialfunktion steht die Summe über k und in der anderen nicht, oder? |
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jh8979 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 10:00 Titel: |
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Man kann es etwas einfacher schreiben
Vermutlich wird der Rest dann auch übersichtlicher... |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 30. Nov 2015 08:45 Titel: |
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Wenn das zuvor gesagt richtig ist, könnte man sich ja um die Berechnung des unnormierten Erwartungswertes der untransformierten Teilchenzahl widmen. Zu Berechnen ist dann:
Kann man hier wieder den alten Trick mit der Ableitung nach machen? Mich stört da das in der Summe. Vielleicht stimmt ja auch mein ganzer Ausdruck schon nicht... |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 19:48 Titel: |
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Nochmal zu erstens:
Man erhält dann
????
Und zu zweitens: Das geht, weil die Summe über die läuft und die nichts miteinander zu tun haben? |
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jh8979 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 13:52 Titel: |
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Das zweite ja (wobei die Unabhängigkeit wichtig ist).
Zu eins: Das Ergebnis für Z sieht dann anders aus. |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 09:32 Titel: |
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Ja, den Anteil der Grundzustandsenergie habe ich mal weggelassen, weil man den ja dann im Erwartungswertterm ohne Normierung ebenfalls herausziehen kann und sich diese Beiträge dann wegkürzen (oder sehe ich das falsch?).
Zu dem zweiten Punkt folgende Frage: Kann man denn so einfach
umformen? |
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jh8979 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 09:22 Titel: |
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Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | Stimmt das? |
Ja, fast.
1. Du hast die Grundzustandsenergie vergessen, dann kann man das noch etwas schöner schreiben.
2. Die gesamte Zustandssumme ist dann natürlich das Produkt über alle. |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 09:15 Titel: |
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Du meinst sicherlich, dass die Oszillatoren sind unabhängig voneinander sind und sich die Summe auf die von nicht miteinander wechselwirkenden Bosonen zurückführen lässt. Dann hätte ich also:
wobei ich die geometrische Reihe verwendet habe. Stimmt das? |
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jh8979 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 09:06 Titel: Re: Berechnung der Besetzungszahl in transformierten Hamilto |
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Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: |
auf die Form einer Summe von harmonischen Oszillatoren gebracht werden:
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Wenn Du jetzt noch explizit ein wichtiges Adjektiv hinzufügst, das das Verhältnis der Oszillatoren untereinander beschreibt, dann siehst Du vllt, dass Du Deine Zustandssumme auf eine zurückführen kannst, die Du einfach ausrechnen kannst... |
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Feynman-Fan1729 |
Verfasst am: 27. Nov 2015 01:34 Titel: Berechnung der Besetzungszahl in transformierten Hamiltonian |
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Meine Frage:
Hallo Physikfreunde,
ich habe ein ein System, dass durch den Hamilton-Operator
beschrieben wird. Dieser kann durch die Transformation
auf die Form einer Summe von harmonischen Oszillatoren gebracht werden:
mit , wenn zusätzlich gefordert wird.
Es soll nun die mittlere Teilchenzahl berechnet werden.
Meine Ideen:
Zunächst einmal kann ich die Transformation einsetzen und alle Operator kombinationen im Erwartungswert vernachlässigen, weil diese bei der Spurbildung in
sowieso unwichtig sind (?) und erhalte:
Von hier weiß ich nicht weiter. Kann ich die Zustandssumme
weiter vereinfachen? Bei der gesamten Erwartungswertberechnung bin ich dann ganz ratlos.
Es wäre sehr schön, wenn mir jemand helfen könnte.
ganz liebe Grüße,
Ralf |
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