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[quote="Feynman-Fan1729"][b]Meine Frage:[/b] Hallo Freunde der Physik, im Buch von Negele und Orland gibt es eine Aufgabe, bei der man zeigen soll, dass Wechselwirkungsoperator zwischen n-Teilchen in zweiter Quantisierung geschrieben werden kann, als [latex] O_n=\frac{1}{n!}\sum\limits_{\lambda_1\dots\lambda_n}\sum\limits_{\mu_1\dots\mu_n}\big\langle\lambda_1\dots\lambda_n\big|O_n\big|\mu_1\dots\mu_n\big\rangle a_{\lambda_1}^\dagger a_{\lambda_2}^\dagger\dots a_{\lambda_n}^\dagger a_{\mu_n}\dots a_{\mu_2}a_{\mu_1} [/latex] Dazu soll der Operator aufgestellt werden, der die Anzahl der n-Tupel in den Zuständen [latex] \big|\alpha_1\big\rangle, \dots, \big|\alpha_n\big\rangle[/latex] misst und dann gezeigt werden, dass dieser geschrieben werden kann als [latex] P_{\alpha_1\dots\alpha_n}=a_{\lambda_1}^\dagger a_{\lambda_2}^\dagger\dots a_{\lambda_n}^\dagger a_{\mu_n}\dots a_{\mu_2}a_{\mu_1} [/latex] Für den Fall [latex] n=2[/latex] ist dies bereits gezeigt. [b]Meine Ideen:[/b] Aus kombinatorischen Überlegungen erhalte ich den gesuchten Operator in der Form: [latex] P_{\alpha_1\dots\alpha_n}=n_{\alpha_1}(n_{\alpha_2}-\delta_{\alpha_1\alpha_2})(n_{\alpha_3}-\delta_{\alpha_1\alpha_3}-\delta_{\alpha_2\alpha_3})\cdots(n_{\alpha_n}-\delta_{\alpha_1\alpha_n}-_{\dots}-\delta_{\alpha_{n-1}\alpha_n}) [/latex] Meine Idee ist nun die angegebene Beziehung induktiv zu beweisen. Es bleibt dann nur noch den Ausdruck [latex] c_{\alpha_1}^\dagger\dots c_{\alpha_{n-1}}^\dagger c_{\alpha_{n-1}}\dots c_{\alpha_1}\cdot(c_{\alpha_n}^\dagger c_{\alpha_n}-\delta_{\alpha_1\alpha_n}-_{\dots}-\delta_{\alpha_{n-1}\alpha_n}) [/latex] in Normalform zu bringen. Ich meine nun, dass jedes mal wenn ich [latex] c_{\alpha_i}c_{\alpha_n}^\dagger [/latex] vertausche erhalte ich einen Term [latex] \delta_{\alpha_i\alpha_n} - \eta c_{\alpha_n}^\dagger c_{\alpha_i} [/latex] in mitten des Restes der Operatorkette. Hierbei ist [latex] \eta=1 [/latex] für Bosonen und [latex] \eta=-1 [/latex] für Fermionen. Diesen störenden Faktor kann ich eliminieren, wenn ich dann [latex] c_{\alpha_i}c_{\alpha_n} [/latex] vertausche. Auf diese Art und Weise tausche ich durch, bis der Operator in Normalordnung ist. Die Terme mit den Kroneckerdeltas werden auf dem Weg allesamt eliminiert. Am Ende lande ich bei dem gesuchten Term. Ist dieser Gedankengang richtig oder übersehe ich etwas? Ich habe das schon am Beispiel des 3-Körper-Operators durchgezogen. Da ging alles gut. Grüße, Ralf[/quote]
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Feynman-Fan1729
Verfasst am: 27. Nov 2015 01:41
Titel:
Na wunderbar wenn da der Meiser den Daumen hebt. Ich saß schon länger über der Aufgabeund hatte diese Idee. Dass das so einfach geht, hätte nicht gedacht. Aber wenn man einmal durch die Kombinatorik durch ist, hat man wohl das schlimmste geschaft.
Allerdings weiß ich nicht, ob man überhaupt mehr als Zweiteilchenoperatoren benötigt. Jedenfalls ist mir sowas noch nicht unter die Augen gekommen (denke ich...)
vielen herzlichen Dank,
Ralff
jh8979
Verfasst am: 27. Nov 2015 00:57
Titel: Re: n-body-operator (Aufgabe Negele/Orland)
Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben:
Ist dieser Gedankengang richtig oder übersehe ich etwas?
Ohne jetzt all Deine Indizes hier im Detail gecheckt zu haben: Sieht gut aus
PS: Davon abgesehen: 2 geht gut, 3 geht gut => Physiker-Induktion -> passt schon
Feynman-Fan1729
Verfasst am: 27. Nov 2015 00:35
Titel: n-body-operator (Aufgabe Negele/Orland)
Meine Frage:
Hallo Freunde der Physik,
im Buch von Negele und Orland gibt es eine Aufgabe, bei der man zeigen soll, dass Wechselwirkungsoperator zwischen n-Teilchen in zweiter Quantisierung geschrieben werden kann, als
Dazu soll der Operator aufgestellt werden, der die Anzahl der n-Tupel in den Zuständen
misst und dann gezeigt werden, dass dieser geschrieben werden kann als
Für den Fall
ist dies bereits gezeigt.
Meine Ideen:
Aus kombinatorischen Überlegungen erhalte ich den gesuchten Operator in der Form:
Meine Idee ist nun die angegebene Beziehung induktiv zu beweisen. Es bleibt dann nur noch den Ausdruck
in Normalform zu bringen. Ich meine nun, dass jedes mal wenn ich
vertausche erhalte ich einen Term
in mitten des Restes der Operatorkette. Hierbei ist
für Bosonen und
für Fermionen. Diesen störenden Faktor kann ich eliminieren, wenn ich dann
vertausche. Auf diese Art und Weise tausche ich durch, bis der Operator in Normalordnung ist. Die Terme mit den Kroneckerdeltas werden auf dem Weg allesamt eliminiert. Am Ende lande ich bei dem gesuchten Term. Ist dieser Gedankengang richtig oder übersehe ich etwas? Ich habe das schon am Beispiel des 3-Körper-Operators durchgezogen. Da ging alles gut.
Grüße,
Ralf